בכל בית קפה, טיילת או מועדון משחקים אפשר לשמוע שחקן מאוכזב שצועק שהיריב שלו רק גלגל דאבלים במזל. קל להבין למה הטענה הזאת נשמעת לעיתים קרובות: בניגוד לשחמט או לדמקה שבהם כל המידע גלוי ואין אלמנט אקראי, בשש־בש כל מהלך מתחיל בהטלת שתי קוביות. כאשר שחקן חלש מגלגל 6-6 ברגע המכריע וזוכה במשחק בודד, נדמה שהמשחק כולו תלוי בחסדי הגורל.
אבל המדע, המתמטיקה וההיסטוריה המשפטית מספרים סיפור שונה לחלוטין. מתחת למעטה האקראי של הקוביות מסתתר אחד ממשחקי האסטרטגיה העמוקים והתובעניים ביותר בעולם. בעוד שמשחק של נקודה בודדת מאפשר למזל לקבוע את המנצח לעיתים, כל נקודה נוספת במאטש מקזזת את הסטייה האקראית ומעניקה לשחקן הטוב יותר שליטה כמעט מוחלטת בתוצאה [1].
אם תרצו לדעת איך חוקרים מודדים מיומנות, מה משמעותן של רמות משחק בשש־בש, למה קבע בית משפט בארצות הברית ששש־בש אינו הימור, ואיך קוביית ההכפלה הופכת יתרון עמדתי לניצחון בטוח, הגעתם למקום הנכון.
מה מצא המדע: מדידת מיומנות מול מזל
במשך עשרות שנים התווכחו חוקרים ומתמטיקאים על השאלה איך אפשר למדוד בצורה אובייקטיבית את חלקו של המזל מול חלקה של המיומנות במשחקי לוח ובמשחקי קלפים. פריצת הדרך המדעית הגיעה במחקר מקיף שפורסם בשנת 2020 בכתב העת האירופי לכלכלה (European Economic Review) על ידי הכלכלנים פטר דירש, מרקו למברכט וירג אקסלר (Peter Duersch, Marco Lambrecht, Joerg Oechssler) [1].
החוקרים פיתחו מודל דירוג אמפירי מתקדם המבוסס על מאגרי מידע של מאות אלפי משחקים מקוונים בשש־בש, בשחמט ובפוקר [1]. מטרת המחקר הייתה לבדוק כמה משחקים נדרשים כדי שהמיומנות של השחקן תגבר באופן מובהק על גורם האקראיות.
ממצאי המחקר הראו כי בשש־בש, המיומנות האסטרטגית משתלטת במהירות על תוצאות המפגשים ככל שמספר המשחקים עולה [1]. בעוד שבמשחק יחיד של נקודה 1 שחקן חלש יכול להפתיע בזכות רצף הטלות מזל, כבר במאטש קצר פערי המיומנות מכריעים את הכף. החוקרים הראו ששש־בש קרוב הרבה יותר לשחמט מאשר למשחקי מזל טהורים, משום שכל הטלה מציבה בעיה קבלת החלטות מורכבת שבה רק שחקן מנוסה יודע למצוא את המהלך שממקסם את תוחלת הרווח [1].
הפסיקה ההיסטורית של 1982: שש־בש הוא משחק מיומנות
הוויכוח סביב שאלת המזל והמיומנות לא נשאר רק בין כותלי האקדמיה. בפברואר 1982 הגיע הנושא להכרעה משפטית דרמטית במדינת אורגון בארצות הברית, בתיק המפורסם State of Oregon v. Ted Barr [2].
הרשויות האשימו את טד באר בניהול הימורים בלתי חוקיים בעקבות ארגון טורניר שש־בש נושא פרסים כספיים. לפי החוק באורגון באותה תקופה, משחק שבו המזל הוא גורם מכריע נחשב להימור אסור. כדי להגן על עצמו ועל קהילת השחקנים, זימן באר עד מומחה בעל שם עולמי: פול מגריאל (Paul Magriel), אלוף העולם בשש־בש לשנת 1978 ומחבר הספר הקלאסי של המשחק [2].
פול מגריאל העיד במשך שעתיים תמימות בפני השופט סטיבן ס. ווקר (Stephen S. Walker) [2]. במהלך עדותו המרתקת הדגים מגריאל על גבי לוח שש־בש כיצד כמעט בכל תור עומדות בפני השחקן 30 אפשרויות חוקיות או יותר להנעת האבנים לאחר הטלת הקוביות [2]. מגריאל הוכיח כי בחירת המהלך המיטבי מבין עשרות האפשרויות דורשת חישוב הסתברויות מדויק, הבנת מבנה הלוח, הערכת סיכונים ותכנון לטווח ארוך.
השופט ווקר השתכנע לחלוטין מעדותו המתמטית של מגריאל. בפסק דינו ביטל השופט את כל האישומים וקבע תקדים משפטי ברור: שש־בש הוא משחק מיומנות מובהק ולא משחק מזל, מפני שההחלטות האנושיות של השחקן הן שקובעות את התוצאה הסופית ולא האקראיות של הקוביות [2].
כבר בשנת 1976 הוציא מגריאל לאור את ספרו המונומנטלי, שבו קידד לראשונה באופן שיטתי את תנועת האבנים לאורך כל 36 צירופי הקוביות האפשריים [3]. הוא ניסח את עקרונות המשחק הבטוח, ניהול הסיכונים וחישוב האקוויטי, והפך את השש־בש מתחביב עממי למדע מדויק של תורת ההחלטות. כדי להכיר את היסודות האלה לעומק, מומלץ לקרוא את המדריך המלא של חוקי שש־בש ואת הצעדים הראשונים של שיעורי שש־בש.
מתמטיקה של מאטשים: איך אורך המשחק מוחק את המזל
ההבדל היסודי בין שחקן מתחיל לבין שחקן מקצועי טמון בהבנת ההבדל בין משחק בודד לבין מאטש מרובה נקודות. ניתוח מתמטי של מודלי דירוג רשמיים, כמו אלה שפותחו בשרת הבינלאומי FIBS, מוכיח כי יתרון המיומנות של שחקן עולה ביחס ישר לשורש הריבועי של אורך המאטש [4].
פירוש הדבר הוא שבמשחק קצר, סטיית התקן של הקוביות גבוהה ויכולה להסוות פערי רמות. אך ככל שהמאטש מתארך, חוק המספרים הגדולים נכנס לפעולה: הטלות מזל לטובת צד אחד מתקזזות עם הטלות דומות לטובת הצד השני, והיתרון המצטבר של קבלת החלטות נכונות בכל תור בא לידי ביטוי מלא [4].
נתונים אמפיריים מראים כיצד יתרון דירוג של 150 נקודות — פער טיפוסי בין שחקן מומחה לשחקן חובב — מתורגם לסיכויי ניצחון מוחשיים [4]:
- במשחק של נקודה 1 בלבד, המומחה ינצח רק בכ־55% מהמקרים, שכן היריב החובב נהנה מסיכוי של כמעט 45% לגנוב ניצחון בעזרת הטלות נוחות.
- במאטש של 7 נקודות, שיעור הניצחונות של המומחה מזנק ל־76%.
- במאטש של 11 נקודות, סיכויי הניצחון מגיעים כבר ל־84%.
- במאטש של 15 נקודות, שחקן המועדון ינצח ב־90% מהמפגשים.
- במאטשים ארוכים אף יותר, ההסתברות של השחקן הטוב יותר שואפת מתמטית לעבר 100%.
זו הסיבה שבכל טורניר שש־בש רשמי בעולם לא משחקים משחק בודד, אלא מאטשים הנעים בין 7 ל־15 נקודות. מארגני הטורנירים יודעים היטב שאורך המאטש מנטרל את המזל ומבטיח שהאלופים יגיעו באופן עקבי לשלבי הגמר.
קוביית ההכפלה: הכלי שמחסל את המזל
אם אורך המאטש הוא המגן המתמטי של השחקן המיומן, הרי שקוביית ההכפלה (Doubling Cube) היא הנשק האסטרטגי החזק ביותר שלו. הקובייה, שהומצאה במועדוני המשחקים של ניו יורק בשנות העשרים (שנות ה־1920), שינתה את שש־בש לנצח [3].
קוביית ההכפלה מעניקה לשחקן שצבר יתרון עמדתי את הזכות להכפיל את ערך המשחק. כאשר שחקן מציע דאבל, היריב עומד בפני דילמה מיידית: לקבל את ההכפלה ולהמשיך לשחק על ערך כפול, או לוותר מיד ולהפסיד נקודה 1 בלבד [3].
הקובייה מונעת מצבים שבהם שחקן שהשיג עמדה מנצחת לחלוטין יאבד את המשחק רק בגלל שהיריב יגלגל צירוף בלתי סביר בסיום. שחקן מיומן יודע מתי להציע דאבל כדי לגבות את הניצחון מיד או להכפיל את הרווח, ומתי לפרוש מעמדה נחותה כדי למזער נזקים.
בתורת המשחקים של שש־בש קיים מושג מתמטי מדויק שנקרא סף הלקיחה (take point). במשחק מרוץ חופשי רגיל, סף הלקיחה המתמטי עומד בדיוק על 25% סיכויי ניצחון [3]. החישוב פשוט והגיוני:
- אם תפרשו מיד מהדאבל, תפסידו בדיוק נקודה 1.
- אם תקבלו את הדאבל, תנצחו 2 נקודות ב־25% מהמקרים ותפסידו 2 נקודות ב־75% מהמקרים.
- תוחלת הרווח של לקיחת הדאבל שווה בדיוק להפסד של 1.0 נקודה.
אם סיכויי הניצחון שלכם בעמדה עולים על 25%, משתלם מתמטית לקבל את הדאבל; אם הסיכויים נמוכים מ־25%, פרישה היא ההחלטה הנכונה ביותר. היכולת להעריך בדיוק מתי עברתם את סף ה־25% היא מיומנות טהורה שאינה קשורה כלל למזל, כפי שמוסבר בהרחבה במדריך על אסטרטגיה בשש־בש.
כיצד מודדים מיומנות: מדד הביצועים PR
בעבר יכלו שחקנים להתווכח שעות האם מהלך מסוים היה נכון או שגוי. כיום, הודות למנועי ניתוח מתקדמים, רמת המשחק נמדדת בדיוק אובייקטיבי מוחלט באמצעות מדד הביצועים המוכר בעולם: PR (קיצור של Performance Rating) [5].
מדד ה־PR מחושב על ידי סיכום כל הפסדי האקוויטי שביצע השחקן בהחלטות שאינן כפויות (הן בהנעת אבנים והן בהחלטות קובייה), חלוקה במספר ההחלטות, והכפלת התוצאה ב־500 [5]. ככל שציון ה־PR נמוך יותר, כך השחקן שיחק בצורה מדויקת וקרובה יותר לשלמות מתמטית.
המדד מחלק את עולם השש־בש לרמות ברורות שאינן תלויות בתוצאת המשחק הסופית [5]:
- אלופי עולם ורבי־אמנים: משיגים ציון PR הנמוך מ־3.5. שחקנים אלה מבצעים טעויות מזעריות בלבד לאורך מאות מהלכים.
- שחקני מועדון מתקדמים: נעים בדרך כלל בין 6.0 ל־10.0 ב־PR.
- שחקנים ממוצעים: נעים סביב 10.0 עד 15.0.
- שחקנים חובבים ומתחילים: משיגים ציונים שבין 15.0 ל־25.0 ומעלה, בשל שגיאות רבות בבחירת המהלכים הנכונים.
תוכלו להעמיק בהגדרות הרשמיות בעמוד על רמות משחק בשש־בש ובמדריך על מה המשמעות של PR בשש בש. כאשר מנתחים משחק, רואים בבירור: שחקן עם PR של 3.0 יכול להפסיד משחק קצר לשחקן עם PR של 18.0 בגלל רצף קוביות חריג, אך לאורך עשרה משחקים, השחקן המדויק ינצח כמעט תמיד.
ניהול תנודתיות: לשלוט בסערה שעל הלוח
אחד העקרונות האסטרטגיים העמוקים ביותר שפול מגריאל ניסח בספרו הוא ניהול תנודתיות (volatility management) [3]. שחקנים חובבים רואים בקוביות כוח עליון בלתי צפוי, אך שחקנים מקצועיים משתמשים במיקום האבנים כדי לקבוע בעצמם האם המשחק יהיה סוער או רגוע.
כאשר אתם מובילים במרוץ ומחזיקים ביתרון מבני, המטרה הראשית שלכם היא לצמצם את התנודתיות למינימום [3]. עושים זאת על ידי סגירת משבצות בטוחות, בניית עוגנים מאחור, הימנעות מהשארת אבנים חשופות (blots), והובלת המשחק למרוץ חלק ונטול מגע שבו מהלכי מזל של היריב אינם אפשריים.
לעומת זאת, כאשר אתם מפגרים במרוץ או לכודים מאחורי חומה (פריים) של היריב, החובה האסטרטגית שלכם היא להגביר את התנודתיות בכוונה תחילה [3]. במצב כזה, השחקן המנוסה מפצל אבנים, משאיר מטרות מפתות, ומכה אבנים חשופות באגרסיביות כדי ליצור סיבוכים טקטיים. על ידי ריבוי נקודות המגע על הלוח, השחקן שבפיגור מייצר כאוס מבוקר שמגדיל את ההסתברות למהפך חד בעמדה.
הידיעה מתי להרגיע את הלוח ומתי להצית סערה היא מיומנות אסטרטגית עליונה. אין לה שום קשר לתפילה לקוביות טובות, אלא להבנה עמוקה של התפלגות סיכונים. במשחק מקוון חשוב לוודא שמנגנון הטלת הקוביות אכן אקראי לחלוטין ואינו מוטה, ולשם כך שחקנים בודקים מערכות בעלות קוביות הוגנות שניתנות לאימות ומבררים האם הקוביות בשש־בש אונליין מוטות.
המלכודת הפסיכולוגית: למה אנחנו מאשימים את הקוביות
אם הראיות לכך ששש־בש הוא משחק מיומנות הן כה מוחצות, מדוע המיתוס על משחק של מזל עדיין נפוץ כל כך בציבור?
התשובה נעוצה בפסיכולוגיה הקוגניטיבית של האדם. בשנת 1975 תיעדו הפסיכולוגים דייל מילר ומייקל רוס (Dale Miller, Michael Ross) תופעה פסיכולוגית אוניברסלית הידועה בשם הטיית ייחוס לטובת העצמי (self-serving bias) [6]. מחקרם הוכיח כי בני אדם נוטים לייחס באופן עקבי תוצאות חיוביות ליכולתם האישית — למיומנות, לחוכמה ולראיית הנולד שלהם — בעוד שכישלונות ותוצאות שליליות מיוחסים לגורמים חיצוניים כמו מזל רע או תנאים לא הוגנים [6].
שש־בש הוא כר פורה במיוחד להטיה קוגניטיבית זו:
- כאשר אתם מגלגלים 6-2 ומכים אבן יריב ממרחק של שמונה משבצות, המוח שלכם מייחס זאת לראייה התקפית חדה ולתכנון מבריק.
- כאשר היריב מגלגל בדיוק את אותו 6-2 ומכה את האבן שלכם מהבר, המוח שלכם משוכנע שנשדדתם על ידי קוביות בלתי הוגנות.
מפני שהקוביות גלויות לעין בכל תור ותור, הן משמשות שעיר לעזאזל מושלם. שחקן שביצע חמש טעויות עמדתיות בפתיחה, החליש את המבנה של אבניו וסירב לפרוש מדאבל ברור, עדיין יקום מהשולחן כשהוא משוכנע שהפסיד אך ורק בגלל שהיריב גלגל דאבל 5-5 ברגע האחרון.
ההשתחררות מהטיית הייחוס הזאת היא הצעד הראשון בדרך להפוך לשחקן שש־בש אמיתי. ברגע שמפסיקים להאשים את הקוביות ומתחילים לנתח את השגיאות העמדתיות, השש־בש מפסיק להיות משחק של מזל והופך למה שהוא באמת: אחד ממשחקי המחשבה העמוקים, המדויקים והמתגמלים ביותר שנוצרו אי פעם.
שאלות נפוצות
האם שחקן מתחיל יכול לנצח אלוף עולם בשש־בש?
במשחק בודד של נקודה 1, לשחקן מתחיל יש סיכוי של כ־45% לנצח שחקן צמרת אם הקוביות יעניקו לו דאבלים מהירים במרוץ נטול מגע. לעומת זאת, במאטש רשמי של 11 או 15 נקודות, סיכויי הניצחון של אלוף העולם עולים מעבר ל־90%, שכן אלפי החלטות קטנות מבטלות את השפעת המזל בטווח הקצר.
מדוע שש־בש נחשב למשחק מיומנות לפי החוק?
בפסק הדין המפורסם משנת 1982 בתיק State of Oregon v. Ted Barr, קבע השופט סטיבן ס. ווקר ששש־בש הוא משחק מיומנות מובהק. עדות המומחה של אלוף העולם פול מגריאל הוכיחה כי שחקן עומד בפני 30 אפשרויות חוקיות או יותר כמעט בכל תור, ובחירת המהלך המיטבי היא שמכריעה את התוצאה ולא האקראיות של הקוביות.
מהו סף הלקיחה המתמטי של קוביית ההכפלה?
במשחק מרוץ חופשי רגיל, סף הלקיחה המתמטי עומד בדיוק על 25% סיכויי ניצחון. פרישה מביאה להפסד של נקודה 1, בעוד שלקיחת הדאבל מובילה לזכייה ב־2 נקודות ב־25% מהמקרים ולהפסד של 2 נקודות ב־75% מהמקרים — תוחלת הפסד זהה של 1.0 נקודה. כאשר סיכויי הניצחון עולים על 25%, קבלת הדאבל רווחית מבחינה מתמטית.
כיצד מדד ה־PR מודד את רמת המיומנות?
מדד ה־PR (Performance Rating) מודד את ממוצע הפסד האקוויטי שביצע השחקן בכל החלטה לא כפויה בהשוואה למהלך המיטבי שחושב על ידי מחשב, כשהתוצאה מוכפלת ב־500. אלופי עולם משיגים ציון נמוך מ־3.5, בעוד שחקנים חובבים נעים לרוב בין 15.0 ל־25.0 ומעלה.
מקורות
- Duersch, P., Lambrecht, M., & Oechssler, J. (2020). Measuring skill and chance in games. European Economic Review, 127, 103472.
- District Court of Oregon for Multnomah County. (1982). State of Oregon v. Ted Barr, Case No. DA 216776-8103.
- Magriel, P. (1976). Backgammon. Quadrangle/The New York Times Book Co., New York.
- Schneider, A. (1995). “Backgammon FAQ: The FIBS Rating System and Match Length Formula.”
- Boardgammon. “Backgammon Skill Levels and Performance Rating.”
- Miller, D. T., & Ross, M. (1975). Self-serving biases in the attribution of causality: Fact or fiction? Psychological Bulletin, 82(2), 213–225.
- Boardgammon. “Learn Backgammon: Guides, Rules, and Strategy.”
- Boardgammon. “Provably Fair Dice in Online Backgammon.”
- Boardgammon. “Backgammon Strategy: Fundamentals and Advanced Play.”
מצאתם טעות או ניסוח צורם? כתבו לנו
