הקוביות בשש־בש אונליין מכורות? מה גילינו כשספרנו 438,679 הטלות

החשד הזה לא חדש. ג׳ים הארלי (Jim Hurley) כתב ב־24 בספטמבר 1991 בקבוצת הדיון rec.games.backgammon שתמיד הרגיש שהתוכנה Gammontool מרמה. אבל, הוסיף, יש לו גישה לקוד המקור שלה, ואין בו שום הטיה לטובת הצד שמטיל^[1]. ג׳רי טסאורו (Gerry Tesauro), שחתם בתור המחבר של TD-Gammon, כתב ב־1997 שאנשים חושדים לא רק ב־TD-Gammon, אלא בעצם בכל תוכנה שטובה מספיק כדי לנצח הרבה משחקים^[2]. ובמדריך של GNU Backgammon יש סעיף שלם שכותרתו, בתרגום שלנו, ״אני חושב שהבוט מרמה. הוא תמיד מקבל קוביות טובות.״, ובו נכתב שבהגדרות ברירת המחדל מחולל הקוביות לא מרמה^[3].

על Boardgammon, לפחות, יש לנו שתי תשובות: ספירה של ההטלות במשחקי האונליין שלנו, ודרך לבדוק הטלה בעצמכם. תחושה לא יכולה להכריע את השאלה, כי גם קוביות הוגנות לגמרי נראות לפעמים מכורות.

למה נדמה שהקוביות מכורות?

ב־1972 כתבו שני חוקרים מהאוניברסיטה העברית בירושלים, דניאל כהנמן ועמוס טברסקי, שאנשים רואים במקריות משהו בלתי צפוי, אבל בעצם הוגן^[4]. הם תיארו ציפייה, לא עובדה: אנשים מצפים שגם בסדרה קצרה של הטלות מטבע ייצאו עץ ופלי בערך אותו מספר פעמים. בהערת השוליים הראשונה במאמר הם מודים למאיה בר־הלל על תרומתה בכל שלבי העבודה^[4].

ב־1991 סיכמה בר־הלל, גם היא מהאוניברסיטה העברית^[5], יחד עם וילם וגנאר (Willem Wagenaar) את המחקר על הדרך שבה אנשים שופטים סדרות אקראיות ומייצרים אותן. לפי התקציר שלהם, אנשים רואים גושים ורצפים בסדרות אקראיות לגמרי, ומצפים ליותר מעברים בין התוצאות, או לרצפים קצרים יותר, ממה שיש בהן באמת^[6].

מחקר מ־1985 בדק שאלה דומה, אבל בכלל לא על קוביות: על קליעות לסל. תומס גילוביץ׳ (Thomas Gilovich), רוברט ואלון (Robert Vallone) ועמוס טברסקי הראו ל־100 אוהדי כדורסל שש סדרות של קליעות והחטאות, וביקשו מכל אחד לקבוע אם כל סדרה היא קליעה מקרית, קליעה ברצפים או קליעה לסירוגין. את הסדרה שהתחלפה בדיוק כמו הטלות מטבע (סיכוי מעבר של 0.5) סיווגו כקליעה מקרית רק 32% מהאוהדים, ו־62% ראו בה קליעה ברצפים. הסדרות שנבחרו כדוגמה הטובה ביותר למקריות התחלפו הרבה יותר, בסיכוי של 0.7 ו־0.8^[7].

המסקנה העיקרית של אותו מאמר, ששחקני כדורסל לא באמת קולעים ברצפים, הועמדה בספק ב־2018. מילר (Miller) וסנחורחו (Sanjurjo) הוכיחו שהמדד שבו השתמש המחקר מ־1985 מוטה, ודיווחו שאחרי תיקון ההטיה המסקנות הוותיקות שלו מתהפכות^[8]. לכן לקחנו מהמאמר רק את מה שמצא על האוהדים: איך הם סיווגו סדרות.

ויש עוד דבר. ב־2001 פרסמו באומייסטר (Baumeister) ושלושה עמיתים סקירה של מחקרים בפסיכולוגיה, והגיעו למסקנה שאירועים רעים משפיעים יותר מאירועים טובים מאותו סוג: באירועים יומיומיים, במערכות יחסים, במשוב ובלמידה^[9]. הסקירה לא עוסקת בשש־בש או בקוביות, והמילים backgammon ו־dice לא מופיעות בה בכלל. היא מתארת מחקר שבו אנשים הימרו על אירועי ספורט, ובערך שבוע אחר כך הקדישו יותר זמן לדבר על המשחקים שהפסידו בהם מאשר על אלה שניצחו בהם^[9]. אם זה נכון גם ליד הלוח, ההטלה המוצלחת של היריב ברגע הלא נכון תעסיק אתכם יותר מההטלות המוצלחות שלכם במשחק שניצחתם.

כמה דאבלים זה כבר חשוד?

לשתי קוביות יש 36 תוצאות אפשריות, אם מבחינים בין הקובייה הראשונה לשנייה, וכולן באותו סיכוי. שש מהן הן דאבל בקוביות, כלומר אותו מספר בשתי הקוביות. לכן דאבל יוצא בממוצע פעם בשש הטלות (16.67%), ודאבל מסוים, למשל דאבל שש, פעם ב־36 הטלות (2.78%)^[10]. דאבל משחקים ארבע פעמים^[11], כמו שמוסבר בעמוד חוקי שש־בש.

ומה קורה במשחק שלם? נניח משחק שבו כל צד מטיל 25 פעמים. זו רק דוגמה, לא האורך של כל משחק, אבל היא מספיקה כדי לראות את התמונה. עם קוביות הוגנות:

• כל שחקן מקבל בממוצע 4.17 דאבלים, כלומר בערך ארבעה.
• הסיכוי לקבל לפחות דאבל אחד הוא 98.95%: כמעט תמיד.
• הסיכוי לקבל דאבל פעמיים ברצף, לפחות פעם אחת במשחק, הוא 44.78%: כמעט בחצי מהמשחקים.
• שלושה דאבלים ברצף: 8.67%, בערך במשחק אחד מכל 12.
• הסיכוי שליריב יהיו לפחות שני דאבלים יותר משיש לכם הוא 28.28%, יותר ממשחק אחד מכל ארבעה. ובדיוק אותו סיכוי יש לכם לקבל שני דאבלים יותר ממנו^[10].

אלה לא הערכות מסימולציה, אלא חשבון מדויק לקוביות הוגנות^[10]. ומי שמשחק הרבה, סביר שיראה גם שלושה דאבלים ברצף אצל היריב: ב־20 משחקים כאלה, הסיכוי שזה יקרה לפחות פעם אחת הוא 83.68%^[10]. ולקוביות אין זיכרון: אחרי שלוש הטלות גרועות, הטלה טובה לא סבירה יותר מבכל רגע אחר^[10].

מה יצא כשספרנו את ההטלות שלנו?

ספרנו כל הטלה שנשמרה ברישום שהשרת שומר לעמודי האימות, מכל משחק אונליין ב־Boardgammon ששיחק בו אדם, ובכל משחק את ההטלות של שני הצדדים. הספירה מתחילה בהטלה הראשונה כזאת ברישום, ב־18 במאי 2026, ונגמרת בסוף 10 באוקטובר 2026 לפי שעון UTC, ואת המספרים קראנו ב־11 באוקטובר. בסך הכול 438,679 הטלות, כלומר 877,358 קוביות, וכולן ממשחקי שש־בש רגיל, בחוקים הבינלאומיים ובעמדת הפתיחה הרגילה^[12].

מתוכן 73,179 היו דאבלים: 16.68%, לעומת 16.67% שנותנות קוביות הוגנות^[12]. הדאבלים עצמם לא יצאו שווה בשווה. דאבל שש יצא הכי הרבה, 12,447 פעמים, 2.1% מעל הממוצע של קוביות הוגנות, שהוא בערך 12,186 לכל דאבל. ואילו 1-1 יצא הכי מעט, 12,053 פעמים, 1.1% מתחת לממוצע^[12].

הנה כל 36 התוצאות, כדי שתוכלו לחזור על החשבון בעצמכם. בכל שורה המספר שיצא בקובייה הראשונה, ובכל עמודה המספר בקובייה השנייה^[12]:

גם השם של המשחק נמצא בטבלה, כי השם עצמו הוא הטלה: shesh פירושו שש בפרסית, ו־beş פירושו חמש בטורקית^[13]. ההטלה הזאת מופיעה בטבלה פעמיים, 6-5 ו־5-6, כי כל הטלה של שני מספרים שונים יכולה ליפול בשתי דרכים, ודאבל רק בדרך אחת.

האם הטבלה הזאת חריגה? מבחן חי בריבוע, מבחן סטטיסטי מקובל, משווה את 36 הספירות לסיכויים שווים. על הספירה שלנו הוא נותן 42.25 על 35 דרגות חופש, עם ערך p של 0.19^[12]. בעברית פשוטה: קוביות הוגנות היו נותנות טבלה לא אחידה לפחות כמו שלנו בערך 19 פעמים מתוך 100.

ומה עם כל מספר לחוד? מתוך 877,358 הקוביות, המספר 1 יצא ב־16.62% מהפעמים, 2 ב־16.71%, 3 ב־16.67%, 4 ב־16.60%, 5 ב־16.64% ו־6 ב־16.76%. בקובייה הוגנת כל מספר יוצא ב־16.67% מהפעמים^[12].

השש יצא הכי הרבה, והארבע הכי מעט. מבחן חי בריבוע על שישת המספרים נותן 9.62 על 5 דרגות חופש, עם ערך p של 0.09: קוביות הוגנות היו נותנות פיזור רחב לפחות כמו בספירה שלנו בערך תשע פעמים מתוך 100^[12]. זה לא שכיח, אבל גם לא נדיר.

ואם מסתכלים רק על השש, הוא נראה חריג יותר ממה שהמבחן הכולל אומר. מספר שהיו בוחרים מראש, לפני הספירה, היה מתרחק מהשיעור הצפוי שלו לפחות כמו השש שלנו, לכאן או לכאן, רק בערך פעמיים מתוך 100. אבל את השש בחרנו אחרי שראינו את התוצאות. בקוביות הוגנות, המספר שמתרחק הכי הרבה מהשיעור הצפוי שלו, בין אם זה השש ובין אם מספר אחר, מתרחק לפחות כמו השש שלנו בערך 11 פעמים מתוך 100^[12]. מי שבוחר את המספר הבולט רק אחרי הספירה מגזים בחריגות שלו. לכן הספירה לא מראה שהקוביות נוטות לשש, וגם לא שוללת את זה^[12].

אותו דבר נכון לדאבל שש, התוצאה השכיחה ביותר מבין 36. תמיד אחת מהן תהיה השכיחה ביותר, ובקוביות הוגנות, בספירה בגודל כזה, התוצאה המובילה גבוהה מהממוצע לפחות כמו הדאבל שש שלנו בערך בספירה אחת מכל ארבע^[12].

לא אנחנו הראשונים שסופרים. ב־1997 פרסם סטיבן טרנר (Stephen Turner), שבחתימה שלו מופיעה המעבדה הסטטיסטית בקיימברידג׳ שבאנגליה, ספירה של 10,593,121 הטלות משרת השש־בש FIBS. מדגם קטן יותר, שאספה מישהי אחרת, הראה יותר דאבלים ממה שמקרה אמור לתת, וטרנר התחיל לאסוף ממש לפני שזה התגלה. בספירה שלו היו 16.651% דאבלים, ומבחן חי בריבוע לא הראה שום עדות להטיה^[14]. הוא גם כתב בעצמו שהבדיקה שלו לא מכסה כל הטיה אפשרית^[14].

מה ספירה לא יכולה להוכיח?

טבלה של כמה פעמים יצאה כל הטלה לא יודעת מתי יצאה כל הטלה, ולמי. אם מסדרים את אותן הטלות בסדר אחר, או מחלקים אותן אחרת בין השחקנים, הטבלה נשארת בדיוק אותו דבר. לכן ספירה יכולה להראות אם הקוביות מוטות בסך הכול, אבל לא שאף הטלה לא שונתה או נבחרה לרגע מסוים. היא גם לא יכולה לומר כמה פעמים דאבל בא אחרי דאבל, כי אין בה סדר של הטלות^[10]. והיא אומרת משהו רק על הדפוסים שבדקנו. ויש עוד גבול, פשוט יותר: את הספירה עשינו אנחנו, על הקוביות שלנו.

בגלל זה הספירה היא לא התשובה היחידה. כל הטלה במשחק אונליין ב־Boardgammon ננעלת עוד לפני שהתוצאה שלה נקבעת, ואחר כך כל אחד יכול לחשב אותה מחדש מהרישום שלה.

איך הטלה ננעלת מראש?

ארבעה שלבים, מהנעילה ועד הבדיקה:

1. מספר סודי וטביעת אצבע. לפני כל הטלה השרת מגריל מספר סודי חדש, באורך 32 בייטים, להטלה הזאת בלבד. את המספר עצמו הוא לא מגלה, אלא רק את טביעת האצבע שלו, שמחושבת בשיטת SHA-256^[15]. התקן האמריקאי שמגדיר את SHA-256 קורא לשיטות האלה מאובטחות, כי בלתי אפשרי מבחינה חישובית למצוא קלט שמתאים לטביעה נתונה, או שני קלטים שונים עם אותה טביעה^[16]. בפועל: מטביעת האצבע אי אפשר לחזור אל המספר הסודי, וגם אי אפשר למצוא מספר אחר עם אותה טביעה. מרגע שהטביעה נמסרה, המספר נעול.
2. מספר שני. כשאתם מטילים במשחק בזמן אמת, האפליקציה במכשיר שלכם מגרילה מספר אקראי משלה, 16 בייטים, ושולחת אותו עם הבקשה לחשוף את ההטלה. בלי מספר כזה השרת לא חושף את ההטלה. את המספר הסודי אתם לא רואים עד שההטלה נחשפת, ולכן אתם לא יכולים לכוון את הקוביות דרך המספר שהמכשיר שלכם שולח^[15].
3. ערבוב. השרת מערבב את הכול ב־HMAC, שיטה שפורסמה ב־1997 ליצירת טביעת אצבע בעזרת מפתח סודי^[17]. המפתח הוא המספר הסודי, ובחישוב נכנסים מזהה המשחק, מזהה ההטלה, מונה והמספר השני. המונה עולה בכל פעם שמתחילה הטלה, ולכן הוא יכול לדלג על מספר; הוא לא מספר ההטלה במשחק. ואלה כל הנתונים: שום דבר על העמדה על הלוח, על הניקוד או על השחקנים לא נכנס לחישוב, כך שאין בו שום דבר שיכול לעזור לשחקן או להזיק לו בגלל שהוא מוביל או מפגר, משלם או לא משלם^[15].
4. חשיפה ובדיקה. השרת חושף את המספר הסודי יחד עם ההטלה. בהטלה שאתם מטילים, ורק בה, האפליקציה בודקת שהמספר שנחשף מתאים לטביעת האצבע שקיבלה לפני ההטלה, וחוזרת על החישוב עם הנתונים שבתשובת השרת. את התוצאה היא שומרת ולא מציגה: הבדיקה רצה ברקע. את ההטלות של היריב היא לא בודקת במכשיר^[15].

את התוצאה של הערבוב הופכים לשתי קוביות לפי כלל שנותן לכל מספר מ־1 עד 6 בדיוק אותו סיכוי. כל בייט בתוצאה יכול לקבל 256 ערכים; השרת מדלג על כל בייט שערכו 252 או יותר, ומ־252 הערכים שנשארים כל מספר מקבל בדיוק 42. עמוד האימות מפרט את הכלל הזה^[15].

עוד שני כללים סוגרים פרצות. השרת לא מתחיל הטלה חדשה כל עוד לא שיחקו את ההטלה שכבר נחשפה, כך שאי אפשר להטיל שוב אחרי הטלה שלא מצאה חן בעיניכם^[15]. ואת ההטלה מחשב תמיד השרת: האפליקציה רק מוסיפה את המספר שלה ובודקת את התוצאה. השרת גם בודק כל מהלך מול החוקים, עם ההטלה שהוא מחזיק, ולכן אפליקציה ששינו אותה לא יכולה להמציא הטלה או לשחק מהלך לא חוקי^[15].

ומה אם המספר השני לא מגיע מהמכשיר שלכם?

כשהמספר השני מגיע מהמכשיר שלכם, השרת נועל את המספר הסודי לפני שהמספר השני בכלל קיים, ולכן ברגע הנעילה הוא לא יכול לדעת מה תהיה ההטלה. זה תיאור של סדר הפעולות בשרת; הרישום עצמו לא מוכיח אותו^[15].

אבל לא בכל הטלה יש מכשיר של שחקן שמוסיף מספר. במשחק בהתכתבות, למשל, כל צד משחק את התור שלו מתי שנוח לו, והשרת מטיל בשביל מי שתורו^[15]. כשהשרת מטיל בלי מכשיר של שחקן, הוא מגריל בעצמו גם את המספר השני, וכך שני המספרים אצלו לפני שההטלה נוצרת. הרישום של הטלה כזאת עדיין מראה שהיא לא שונתה אחרי שנרשמה, אבל שום דבר בו לא יכול להראות שהשרת לא ידע אותה מראש, או שלא בחר אותה. על ההטלות האלה, כל מה שיש לנו להציע הוא הספירה, עם הגבולות שלה^[15].

גם לבדיקה של האפליקציה בהטלה שלכם יש גבול. בבדיקה האפליקציה סומכת רק על שני נתונים משלה: מזהה המשחק וטביעת האצבע שקיבלה כשההטלה ננעלה. את מזהה ההטלה, את המונה ואת המספר השני היא לוקחת מתשובת השרת, ולא משווה את המספר השני לזה שהמכשיר שלח; את המונה השרת בכלל לא שולח יחד עם טביעת האצבע. לכן הבדיקה מראה שהמספר הסודי ננעל קודם, ושהקוביות נובעות מהנתונים שברישום. היא לא מראה שברישום נמצא המספר שהמכשיר שלכם שלח, ולא יכולה לשלול את האפשרות שהשרת בוחר בין מונים אחרי שראה את המספר של המכשיר^[15].

איך בודקים הטלה בעצמכם?

בסוף משחק אונליין בזמן אמת, במסך התוצאה, יש קישור בשם ״קוביות הוגנות מוכחות · אמתו״. הוא פותח רשימה של ההטלות במשחק, ובראשה המזהה הציבורי של המשחק, שנראה כך: mat_…. ליד כל הטלה מופיעה הקביעה של השרת עצמו, אם היא עברה את הבדיקה או נכשלה^[15].

באפליקציה אין כפתור להעתקת המזהה, ואין קישור מהרשימה לעמוד האימות הציבורי. לכן מקלידים את המזהה בתיבה שבעמוד איך עובדת בדיקת הקוביות, והיא פותחת את עמוד האימות של המשחק. אפשר להגיע אליו גם ישירות, בכתובת api.boardgammon.com/audit/ ואחריה המזהה^[18].

עמוד האימות כתוב באנגלית בלבד, גם כשהאפליקציה והאתר בעברית^[15], ולכן כדאי לדעת איך הוא קורא לדברים: טביעת האצבע נקראת שם commitment, המספר הסודי נקרא server seed, המספר השני client entropy, והמונה nonce^[15]. יש בו שורה לכל הטלה של שני הצדדים, עם טביעת האצבע, המספר הסודי שנחשף, המספר השני, המונה והקוביות, והשרת בודק את כולן מחדש בכל פעם שהעמוד נפתח^[15].

בתחתית העמוד יש תוכנית קצרה בשפת Python, שלא צריכה שום דבר מלבד Python עצמה, והנתונים של ההטלה הראשונה במשחק כבר מוזנים בה (אחריה מופיעה גם גרסה של אותה בדיקה לשורת הפקודה). התוכנית מחשבת את טביעת האצבע של המספר הסודי שנחשף ומשווה אותה לזו שבעמוד, חוזרת על הערבוב ומשווה את הקוביות, ונעצרת עם שגיאה אם אחד מהם לא מתאים. אותו מתכון בודק כל שורה בעמוד^[15].

בדיקה שעוברת מראה שהמספר הסודי שנחשף מתאים לטביעת האצבע שנרשמה להטלה, ושהקוביות חושבו מהנתונים שברישום. קוביות שלא נובעות מהנתונים שברישום שלהן נכשלות בבדיקה^[15]. מה שהיא לא מראה, כאמור, הוא שהשרת לא יכול היה לדעת את ההטלה מראש או לבחור אותה.

באותו מסך תוצאה יש גם כפתור שמתחיל במילים ״צפו בניתוח המשחק״ (אם היו במשחק טעויות גסות, נוסף לכפתור גם מספר הטעויות של שני השחקנים יחד). במשחק ששיחקתם הוא פותח את ניתוח המשחק. עד שהשרת מסיים לנתח, רואים שם רק שהמשחק נמצא בניתוח. אחר כך מופיעים יחד המזל של כל צד, מספר אחד ללבן ואחד לשחור, וציון אחד למשחק כולו, מדד הביצועים PR, שמחושב על המהלכים ששני השחקנים שיחקו. ההחלטות של קוביית ההכפלה לא נכנסות לציון הזה: הניתוח מציג אותן בנפרד. הציון מודד את המהלכים ולא את התוצאות, ולכן המזל לא מזיז אותו^[19]. אחרי הפסד, מספרי המזל מראים למי מהשניים היה יותר מזל בקוביות באותו משחק.

ומה עם משחק נגד המחשב?

כשבוחרים לשחק נגד המחשב באפליקציה עצמה, המשחק כולו רץ על המכשיר שלכם. את הקוביות של שני הצדדים נותן אותו מחולל אקראי באפליקציה, והמחשב מקבל את ההטלה שלו רק אחרי שהיא נקבעה, ואז בוחר מהלך^[15]. אין שם שרת, אין טביעת אצבע ואין רישום שאפשר לבדוק, וההטלות האלה גם לא נכללות בספירה. זה תיאור של הקוד שלנו, לא הוכחה^[15]. מי שרוצה הטלות עם רישום, שאפשר לבדוק אחרי המשחק, צריך לשחק שש־בש אונליין.

מעבר להבנת האקראיות של הקוביות, שליטה במשחק דורשת משמעת טקטית: למדו כיצד לבצע הוצאת אבנים בשש בש בבטחה, או הכירו את דרכי ההתגוננות מפני מט שורה אחרונה בשחמט כדי לחדד את הראייה האסטרטגית שלכם.

מקורות

1. Hurley, J. (1991, September 24). “Computer cheats, was - Information on gammontool.” Post to the newsgroup rec.games.backgammon, kept in the Backgammon Galore forum archive as “Does Gammontool cheat?”
2. Tesauro, G. (1997, February 13). “Re: TD-GAMMON with OS/2 WARP 4.” Post to the newsgroup rec.games.backgammon, kept in the Backgammon Galore forum archive as “Does TD-Gammon cheat?”
3. GNU Backgammon Manual V0.16, section 12.4.7, “I think the bot is cheating. It always gets good dice.”
4. Kahneman, D., & Tversky, A. (1972). Subjective probability: A judgment of representativeness. Cognitive Psychology, 3(3), 430–454.
5. The Hebrew University of Jerusalem. Research portal record of “The perception of randomness” (Bar-Hillel, M., & Wagenaar, W. A., 1991, Advances in Applied Mathematics, 12(4), 428–454), listed under the university's Department of Psychology.
6. Bar-Hillel, M., & Wagenaar, W. A. (1991). The perception of randomness. Advances in Applied Mathematics, 12(4), 428–454.
7. Gilovich, T., Vallone, R., & Tversky, A. (1985). The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences. Cognitive Psychology, 17(3), 295–314.
8. Miller, J. B., & Sanjurjo, A. (2018). Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers. Econometrica, 86(6), 2019–2047.
9. Baumeister, R. F., Bratslavsky, E., Finkenauer, C., & Vohs, K. D. (2001). Bad is stronger than good. Review of General Psychology, 5(4), 323–370.
10. Boardgammon. Our own exact calculations for two fair dice, made for this article on October 11, 2026: 36 equally likely outcomes, and the chance of each count and each run of doubles for a player who rolls 25 times.
11. Boardgammon. “Backgammon rules,” section 9, “Doubles.”
12. Boardgammon. Our count of every dice roll on record from every online backgammon game a person played in, from May 18 to October 10, 2026: 438,679 rolls (877,358 dice). Read from the server’s dice record on October 11, 2026. All 36 counts are printed in this article.
13. Wikipedia in Hebrew. “שש בש” (revision 43921793), opening sentence.
14. Turner, S. (1997, April 5). “Re: Randomness and FIBS dice (with 10 MILLION ROLLS!!).” Post to the newsgroup rec.games.backgammon, kept in the Backgammon Galore forum archive as “FIBS: Analysis of 10 million rolls.”
15. Boardgammon. The code that makes and checks the dice on our server and in our app, and the audit page it produces for each online game, read on October 11, 2026. The code is not public; every audit page prints the full recipe.
16. National Institute of Standards and Technology (2015, August). Secure Hash Standard (SHS). FIPS PUB 180-4.
17. Krawczyk, H., Bellare, M., & Canetti, R. (1997, February). HMAC: Keyed-hashing for message authentication. RFC 2104.
18. Boardgammon. “Provably fair dice.” Our page with the box that opens a game’s audit page.
19. Boardgammon. “Backgammon skill levels and PR.”
20. Boardgammon. The code of our app’s result screen and match-analysis sheet for an online game, read on October 11, 2026. The code is not public.

מצאתם טעות או ניסוח צורם? כתבו לנו