Sind die Würfel beim Online-Backgammon manipuliert?

Jeder Online-Wurf wird auf unserem Server genau einmal berechnet, und nichts über die Stellung oder die Spieler fließt in die Rechnung ein^[1]. Das ist zunächst unsere Aussage über unseren eigenen Code. Was du davon selbst nachrechnen kannst und wo das an Grenzen stößt, steht weiter unten; das Feld für die ID einer Partie findest du auf unserer Seite zu den nachweisbar fairen Würfeln. Zuerst aber zur Frage, warum sich faire Würfel überhaupt manipuliert anfühlen. Der Verdacht, die Würfel seien gezinkt, ist älter als jede App.

Ein Verdacht, so alt wie die Programme

Am 24. September 1991 schrieb Jim Hurley in der Newsgroup rec.games.backgammon, er habe beim Programm Gammontool immer das Gefühl gehabt, dass es schummle. Er habe aber Zugang zum Quellcode, und der bevorzuge nicht die Seite, die würfelt^[2]. 1997 schrieb Gerry Tesauro, der als Autor von TD-Gammon unterschrieb, misstrauisch seien die Leute nicht nur gegenüber TD-Gammon, sondern gegenüber praktisch allen Programmen, die gut genug sind, viele Partien zu gewinnen^[3]. Das Handbuch von GNU Backgammon widmet dem Verdacht einen eigenen Abschnitt. Er ist überschrieben mit „I think the bot is cheating. It always gets good dice.“ (auf Deutsch etwa: „Ich glaube, der Bot schummelt. Er bekommt immer gute Würfel.“). Darunter steht, in der Grundeinstellung schummle der Würfelgenerator nicht^[4].

Auf Deutsch klingt das nicht anders. Die deutsche Seite des Backgammon-Programms BGBlitz2Go, die Frank Berger mit einer Adresse in Köln unterschreibt, nimmt den Vorwurf gleich vorweg: „Unweigerlich wird jemand BGBlitz2Go vorwerfen, dass die Würfel nicht fair sind.“^[5] Weiter unten fragt sie: „Warum fühle ich mich trotzdem beschummelt?“ Zwei der Gründe, die Berger nennt: Der menschliche Geist sei nicht besonders gut darin, Zufall zu beurteilen. Und Pech nehme man beim Backgammon anscheinend stärker wahr als glückliche Würfe, was dazu führe, dass man glaube, der andere bekomme die besseren Würfel^[5]. Das ist seine Erklärung, keine Studie. Für diese beiden Gründe gibt es aber Forschung.

Warum sich faire Würfel manipuliert anfühlen

Menschen sehen in echten Zufallsfolgen Häufungen und Serien und erwarten mehr Wechsel, also kürzere Serien, als darin vorkommen. So fassten Bar-Hillel und Wagenaar 1991 die Forschung zur Wahrnehmung von Zufall zusammen^[6].

Wie stark dieser Eindruck ist, zeigt eine Studie über Würfe auf den Korb, nicht über Würfel. Für diese 1985 veröffentlichte Studie legten Gilovich, Vallone und Tversky 100 Basketballfans je sechs Folgen aus Treffern und Fehlwürfen vor. Die Fans sollten jede Folge einordnen: Zufall, Serie oder ständiger Wechsel. Eine der Folgen wechselte so oft zwischen Treffer und Fehlwurf wie Münzwürfe, mit einer Wechselwahrscheinlichkeit von 0,5. Nur 32 Prozent hielten sie für Zufall, 62 Prozent für eine Serie. Als beste Beispiele für Zufall wählten die Fans Folgen, die viel öfter wechselten, mit Wechselwahrscheinlichkeiten von 0,7 und 0,8^[7].

Die Hauptaussage derselben Studie, Basketballspieler träfen in Wahrheit nicht in Serien, wurde 2018 angefochten: Miller und Sanjurjo wiesen nach, dass die Messgröße der Studie verzerrt ist, und fanden, dass sich die Schlussfolgerungen der Studie nach der Korrektur umkehren^[8]. Wir übernehmen deshalb nur, wie die Fans die Folgen eingeordnet haben.

Kahneman und Tversky schrieben 1972, Menschen sähen den Zufall als unvorhersehbar, aber im Grunde fair an: Schon kurze Folgen von Münzwürfen sollen ungefähr gleich oft Kopf und Zahl zeigen^[9]. Das beschreibt eine Erwartung, nicht den Zufall. Am Brett heißt das: Wer erwartet, dass sich die Pasche gerecht verteilen, kann eine Häufung beim Gegner schnell für Absicht halten.

Dazu kommt, dass Schlechtes stärker wirkt als Gutes. Ein Überblicksartikel von 2001 kam zu dem Schluss, dass schlechte Ereignisse mehr bewirken als gute derselben Art, vom Alltag über Beziehungen bis zum Lernen^[10]. Backgammon und Würfel kommen darin nicht vor, nicht einmal als Wort. Er schildert aber eine ältere Studie von Gilovich: Wer auf Sportereignisse gewettet hatte, sprach etwa eine Woche später länger über die verlorenen Spiele als über die gewonnenen^[10]. Am Brett dürfte der Pasch, der dich eine Partie gekostet hat, ähnlich lange nachwirken.

Wie oft fällt ein Pasch wirklich?

Zwei Würfel ergeben 36 gleich wahrscheinliche Würfe, wenn man den ersten und den zweiten Würfel unterscheidet. Sechs davon sind Pasche. Ein Pasch fällt also bei einem von sechs Würfen, das sind 16,67 %, ein bestimmter wie der Sechserpasch bei einem von 36, das sind 2,78 %^[11]. Ein Gedächtnis haben Würfel nicht: Nach drei schlechten Würfen ist ein guter um nichts wahrscheinlicher als sonst^[11]. Ins Gewicht fällt ein Pasch, weil du ihn viermal ziehst^[12]; wie eine Partie sonst abläuft, fassen unsere Backgammon-Regeln knapp zusammen.

Nimm an, jede Seite würfelt in einer Partie 25-mal. Dann gilt für faire Würfel, exakt ausgerechnet und nicht mit einer Simulation geschätzt^[11]:

• Im Schnitt würfelst du gut vier Pasche (4,17).
• Mindestens einen Pasch würfelst du so gut wie sicher: zu 98,95 %.
• Mindestens einmal zwei Pasche hintereinander würfelst du zu 44,78 %, also in fast jeder zweiten Partie.
• Mindestens einmal drei Pasche hintereinander würfelst du zu 8,67 %, also ungefähr in jeder zwölften Partie.
• Dein Gegner würfelt zu 28,28 % mindestens zwei Pasche mehr als du, und umgekehrt genauso.

In 20 solchen Partien steigt die Chance, dass irgendein Gegner mindestens einmal drei Pasche in Folge würfelt, auf 83,68 %, rund 84 %^[11]. Eine solche Serie gegen dich wirst du also wahrscheinlich erleben, auch mit völlig fairen Würfeln.

Unsere Zählung: 438.679 Würfe

Rechnen ist das eine, Zählen das andere. Gezählt haben wir jeden aufgezeichneten Wurf aus jeder Online-Partie bei Boardgammon, in der ein Mensch am Brett saß, und zwar die Würfe beider Seiten: vom ersten solchen Wurf am 18. Mai bis zum Ende des 10. Oktober 2026. Ausgelesen haben wir sie am 11. Oktober 2026 aus dem Würfelprotokoll, das der Server für seine Prüfseiten führt: 438.679 Würfe mit 877.358 einzelnen Würfeln, alle nach demselben veröffentlichten Verfahren berechnet^[13].

Pasche waren 73.179 davon, also 16,68 %; bei fairen Würfeln sind 16,67 % zu erwarten^[13]. Gleich oft kamen die sechs Pasche allerdings nicht: Einerpasch 12.053-mal, Zweierpasch 12.244, Dreierpasch 12.209, Viererpasch 12.163, Fünferpasch 12.063 und Sechserpasch 12.447. Bei fairen Würfeln wären im Schnitt 438.679 ÷ 36 = 12.185,5 von jedem zu erwarten, rund 12.186. Am weitesten darüber lag der Sechserpasch, um 2,1 % (genauer 2,15 %), am weitesten darunter der Einerpasch, um 1,1 % (genauer 1,09 %)^[13].

Alle 36 Ergebnisse zum Nachrechnen

Damit du die Rechnung selbst wiederholen kannst, hier die ganze Tabelle: Die Zeilen stehen für den ersten Würfel, die Spalten für den zweiten^[13].

Am seltensten fiel 3-4 (erst die 3, dann die 4) mit 11.973 Würfen, am häufigsten 6-6 mit 12.447. Ein Chi-Quadrat-Test vergleicht die Tabelle mit gleichen Chancen für alle 36 Felder und ergibt 42,25 bei 35 Freiheitsgraden, p = 0,19. In Worten: Faire Würfel liefern eine mindestens so ungleichmäßige Tabelle in etwa 19 von 100 Zählungen^[13]. Zum Nachrechnen ziehst du in jedem Feld 12.185,5 ab, quadrierst das Ergebnis, teilst es durch 12.185,5 und addierst alle 36 Werte.

Dass ausgerechnet der Sechserpasch vorn liegt, fällt ins Auge. Aber irgendein Ergebnis muss das häufigste sein, und bei fairen Würfeln und einer Zählung dieser Größe liegt es in rund 27 von 100 Zählungen, also etwa in jeder vierten, mindestens so weit über dem Durchschnitt wie unsere 12.447 Sechserpasche^[13].

Die einzelnen Augenzahlen

Unter den 877.358 einzelnen Würfeln waren 16,62 % Einsen, 16,71 % Zweien, 16,67 % Dreien, 16,60 % Vieren, 16,64 % Fünfen und 16,76 % Sechsen. Ein fairer Würfel zeigt jede Augenzahl zu 16,67 %. Die Sechs kam also am häufigsten, die Vier am seltensten^[13].

Ein Chi-Quadrat-Test über die sechs Augenzahlen ergibt 9,62 bei 5 Freiheitsgraden, p = 0,09: Faire Würfel streuen mindestens so weit in etwa 9 von 100 Zählungen. Das kommt nicht oft vor, ist aber auch keine Seltenheit^[13].

Für die Sechsen allein sieht es auffälliger aus. Hätten wir uns vor der Zählung auf die Sechs festgelegt, wäre eine so große Abweichung nach oben oder unten nur in etwa 2 von 100 Zählungen zu erwarten. Aufgefallen sind uns die Sechsen aber erst hinterher, und irgendeine Augenzahl liegt immer am weitesten daneben: bei fairen Würfeln in etwa 11 von 100 Zählungen mindestens so weit wie unsere Sechsen^[13]. Wer die auffälligste Zahl nachträglich herauspickt, überschätzt sie. Eine Neigung zur Sechs zeigt die Zählung also nicht, ausschließen kann sie eine aber auch nicht^[13].

Eine viel größere Zählung gibt es schon lange. Am 5. April 1997 berichtete Stephen Turner, der mit der Adresse des Statistical Laboratory in Cambridge unterschrieb, von 10.593.121 Würfen, die er in knapp sechs Monaten auf dem Backgammon-Server FIBS gesammelt hatte. Angefangen hatte er, kurz bevor auffiel, dass eine kleinere Stichprobe, die jemand anderes gesammelt hatte, mehr Pasche zeigte, als der Zufall erwarten lässt. Turner kam auf 16,651 % Pasche, und sein Chi-Quadrat-Test zeigte keinen Hinweis auf eine Verzerrung^[14].

Was eine Zählung nicht beweisen kann

Turner schrieb selbst, seine Auswertung prüfe nicht jede mögliche Verzerrung^[14]. Für unsere gilt das genauso. Eine Tabelle, wie oft welcher Wurf fiel, sieht gleich aus, egal wann ein Wurf fiel und wer ihn bekam. Sie kann zeigen, ob die Würfel insgesamt eine Schlagseite haben, aber nicht, dass kein einzelner Wurf verändert oder für einen bestimmten Moment ausgesucht wurde. Wie oft ein Pasch auf einen Pasch folgte, steht auch nicht darin, denn die Reihenfolge fehlt^[11]. Geprüft sind nur die Muster, nach denen wir gefragt haben. Und die Zählung stammt von uns, also von dem Anbieter, um dessen Würfel es geht.

Deshalb legt sich der Server bei jedem Online-Wurf fest, bevor gewürfelt wird, und jeder dieser Würfe lässt sich hinterher anhand seiner Aufzeichnung nachrechnen.

So legt sich der Server vor jedem Wurf fest

So läuft jeder Online-Wurf ab:

1. Die geheime Zahl. Für genau diesen Wurf zieht der Server eine neue Zufallszahl von 32 Byte aus dem kryptografischen Zufallsgenerator des Systems. Er behält sie für sich und gibt vorab nur ihren Fingerabdruck heraus, den SHA-256-Hashwert. So legt er sich fest, Wurf für Wurf und jeweils kurz vorher; die Würfel einer ganzen Partie stehen nie im Voraus fest^[1]. Vom Fingerabdruck führt praktisch kein Weg zurück zur geheimen Zahl, und eine andere Zahl mit demselben Fingerabdruck findet auch niemand: Deshalb nennt der Secure Hash Standard der US-Behörde NIST das Verfahren sicher^[15].
2. Die zweite Zahl. Würfelst du in einer Live-Partie, zieht dein Gerät eine eigene Zufallszahl von 16 Byte und schickt sie mit der Bitte, den Wurf aufzudecken; ohne eine solche Zahl deckt der Server den Wurf nicht auf. Seine geheime Zahl hat er dann schon festgelegt, bevor es deine Zahl gibt, und kann den Wurf beim Festlegen nicht kennen. Das beschreibt die Reihenfolge, in der er arbeitet; beweisen kann die Aufzeichnung sie nicht. Du wiederum kennst seine geheime Zahl nicht und kannst die Würfel mit deiner Zahl nicht lenken^[1].
3. Die Mischung. Aus der ID der Partie, der ID des Wurfs, einem Zähler und der zweiten Zahl berechnet der Server per HMAC-SHA256 die Würfel; die geheime Zahl dient dabei als Schlüssel. HMAC ist ein veröffentlichtes Verfahren, mit einem geheimen Schlüssel einen Fingerabdruck zu bilden^[16]. Der Zähler steigt mit jedem begonnenen Wurf und kann eine Zahl überspringen; die Nummer des Wurfs in der Partie ist er nicht. Nichts sonst geht in die Rechnung ein, nichts über die Stellung, den Spielstand oder die Spieler. Ob du vorn liegst oder hinten, ob du bezahlst oder nicht: In der Rechnung kann dir das weder nützen noch schaden. Aus dem Ergebnis, einer Reihe von Bytes, macht eine feste Regel zwei Würfel, und zwar so, dass jede Augenzahl genau mit der Wahrscheinlichkeit ein Sechstel fällt: Ein Byte kann 256 Werte annehmen, Werte ab 252 werden übersprungen, und von den übrigen 252 entfallen auf jede Augenzahl genau 42. Die Prüfseite schreibt die Regel aus^[1].
4. Das Aufdecken. Mit dem Wurf gibt der Server die geheime Zahl preis. Bei einem Wurf, den du selbst machst, prüft deine App, ob die geheime Zahl zu dem Fingerabdruck von vorher passt, und rechnet die Würfel mit den Zahlen aus der Antwort des Servers nach. Die Prüfung läuft im Hintergrund, ihr Ergebnis zeigt die App nicht an, und die Würfe deines Gegners prüft sie auf deinem Gerät nicht^[1].
5. Der Server als Schiedsrichter. Solange ein aufgedeckter Wurf nicht gespielt ist, beginnt der Server keinen neuen: Einen Wurf, der dir nicht passt, kannst du nicht einfach neu würfeln. Jeden Zug prüft er mit dem Wurf, den er selbst hält, gegen die Regeln. Eine manipulierte App kann also weder einen Wurf erfinden noch regelwidrig ziehen^[1].

Wenn kein Gerät mitwürfelt

Nicht an jedem Wurf ist das Gerät eines Spielers beteiligt. In einer Korrespondenzpartie etwa, in der beide ziehen, wann es ihnen passt, würfelt der Server für den, der am Zug ist. Wo kein Gerät beteiligt ist, zieht der Server die zweite Zahl selbst und hat dann beide Zahlen in der Hand, bevor der Wurf entsteht^[1]. Die Aufzeichnung zeigt auch hier, dass der Wurf nach dem Aufschreiben nicht verändert wurde, aber nicht, dass der Server ihn nicht vorher kannte oder aussuchte. Für diese Würfe bleibt nur die Zählung, mit ihren Grenzen^[1].

So rechnest du einen Wurf selbst nach

Zu jeder Online-Partie, die du spielst, gibt es eine öffentliche Prüfseite^[1]. Am leichtesten findest du sie über eine eigene Partie: Spiel eine Partie Backgammon online zu Ende, und zwar live, nicht als Korrespondenzpartie. Dann:

1. Auf dem Ergebnisbildschirm einer Live-Partie steht der Link „Beweisbar faire Würfel · Prüfen“. Er öffnet eine Liste mit den Würfen der Partie, ganz oben ihre ID, die mit mat_ beginnt. Bei jedem Wurf steht dort das Urteil des Servers über seinen eigenen Wurf^[1].
2. Einen Knopf zum Kopieren der ID hat die App nicht, auch keinen Link von der Liste zur öffentlichen Prüfseite. Tippe die ID deshalb von Hand in das Feld für die Spiel-ID auf unserer Seite ein und wähle „Würfe prüfen“. Das öffnet die Prüfseite der Partie: api.boardgammon.com/audit/, dahinter die ID^[17].
3. Die Prüfseite gibt es nur auf Englisch. Den Fingerabdruck nennt sie „commitment“, die geheime Zahl „server seed“, die zweite Zahl „client entropy“ und den Zähler „nonce“. Für jeden Wurf beider Seiten stehen dort diese vier Angaben und die Würfel, und bei jedem Aufruf rechnet der Server sie neu nach^[1].
4. Unter der Überschrift „Verify it yourself“ steht ein kurzes Python-Programm, das nichts außer Python braucht und schon mit dem ersten Wurf der Partie ausgefüllt ist. Es bildet den Fingerabdruck der aufgedeckten geheimen Zahl, rechnet die Würfel nach und vergleicht beides mit der Seite; stimmt eins davon nicht, bricht es mit einer Fehlermeldung ab. Für jeden anderen Wurf setzt du die Werte aus seiner Zeile ein. Darunter folgt dieselbe Prüfung noch einmal für die Kommandozeile^[1].

Eine bestandene Prüfung belegt zwei Dinge, mehr nicht: Die geheime Zahl stand fest, bevor der Wurf aufgedeckt wurde, und die Würfel folgen aus den aufgezeichneten Zahlen. Würfel, die nicht daraus folgen, fallen durch^[1]. Nicht belegt ist, dass der Server einen Wurf nicht kennen oder nicht auswählen konnte. Ob die Aufzeichnung die zweite Zahl deines Geräts enthält, zeigt die Prüfung ebenfalls nicht; auch die App vergleicht das nicht, und den Zähler bekommt sie nicht zusammen mit dem Fingerabdruck^[1].

Und die Partien gegen den Computer?

Wenn du dich für eine Partie gegen den Computer entscheidest, den Spielmodus, der ganz auf deinem Gerät läuft, kommen die Würfel beider Seiten aus einem einzigen Zufallsgenerator in der App. Der Computer bekommt seinen Wurf erst, wenn gewürfelt ist, und wählt dann seinen Zug. Diese Würfe macht kein Server: Sie haben keinen Fingerabdruck und keine Aufzeichnung zum Nachprüfen und stecken auch nicht in unserer Zählung. Das ist eine Beschreibung unseres Codes, kein Nachweis^[1].

Pech oder Fehler?

Ob eher die Würfel oder die Züge eine Partie entschieden haben, dafür gibt die Match-Analyse einen Anhaltspunkt. Auf dem Ergebnisbildschirm einer Live-Partie, die du online gespielt hast, gibt es einen Knopf, dessen Beschriftung mit „Match-Analyse ansehen“ beginnt; hatte die Partie Patzer, steht dahinter ihre Zahl, für beide Seiten zusammen. Er öffnet eine Übersicht, die zunächst nur zeigt, dass die Partie analysiert wird. Sobald der Server die Partie analysiert hat, stehen dort das Glück jeder Seite als Zahl, eine für Weiß und eine für Schwarz, und ein PR-Wert für die Partie^[18]. Dieser PR (Performance Rating) bewertet die Züge beider Spieler, nicht die Ergebnisse, und bleibt deshalb vom Würfelglück unberührt^[18]; kurz erklärt ist er im Backgammon-Glossar. So steht neben dem Ärger über die Würfel eine Zahl für das Glück jeder Seite und eine für die Züge am Brett.

Neben dem Verständnis für faire Würfel lohnt sich auch der Blick auf konkrete Spielphasen: In unserem Leitfaden zeigen wir, wie du Backgammon-Steine sicher abtragen kannst, während Schachinteressierte lernen, wie man ein Grundreihenmatt im Schach verhindert.

Quellen

1. Boardgammon. The code that makes and checks the dice on our server and in our app, and the audit page it produces for each online game, read on October 11, 2026. The code is not public; every audit page prints the full recipe.
2. Hurley, J. (1991, September 24). “Computer cheats, was - Information on gammontool.” Post to the newsgroup rec.games.backgammon, kept in the Backgammon Galore forum archive as “Does Gammontool cheat?”
3. Tesauro, G. (1997, February 13). “Re: TD-GAMMON with OS/2 WARP 4.” Post to the newsgroup rec.games.backgammon, kept in the Backgammon Galore forum archive as “Does TD-Gammon cheat?”
4. GNU Backgammon Manual V0.16, section 12.4.7, “I think the bot is cheating. It always gets good dice.”
5. Berger, F. (undated). „Schummelt BGBlitz2Go? - Sind die Würfel fair?“ Page in German on the website of the backgammon program BGBlitz2Go, signed “Frank Berger, Wilhelmstr.27, 50733 Köln, Germany”.
6. Bar-Hillel, M., & Wagenaar, W. A. (1991). The perception of randomness. Advances in Applied Mathematics, 12(4), 428–454.
7. Gilovich, T., Vallone, R., & Tversky, A. (1985). The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences. Cognitive Psychology, 17(3), 295–314.
8. Miller, J. B., & Sanjurjo, A. (2018). Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers. Econometrica, 86(6), 2019–2047.
9. Kahneman, D., & Tversky, A. (1972). Subjective probability: A judgment of representativeness. Cognitive Psychology, 3(3), 430–454.
10. Baumeister, R. F., Bratslavsky, E., Finkenauer, C., & Vohs, K. D. (2001). Bad is stronger than good. Review of General Psychology, 5(4), 323–370.
11. Boardgammon. Our own exact calculations for two fair dice, made for this article on October 11, 2026: 36 equally likely outcomes, and the chance of each count and each run of doubles for a player who rolls 25 times.
12. Boardgammon. “Backgammon rules,” section 9, “Doubles.”
13. Boardgammon. Our count of every dice roll on record from every online backgammon game a person played in, from May 18 to October 10, 2026: 438,679 rolls (877,358 dice). Read from the server’s dice record on October 11, 2026. All 36 counts are printed in this article.
14. Turner, S. (1997, April 5). “Re: Randomness and FIBS dice (with 10 MILLION ROLLS!!).” Post to the newsgroup rec.games.backgammon, kept in the Backgammon Galore forum archive as “FIBS: Analysis of 10 million rolls.”
15. National Institute of Standards and Technology (2015, August). Secure Hash Standard (SHS). FIPS PUB 180-4.
16. Krawczyk, H., Bellare, M., & Canetti, R. (1997, February). HMAC: Keyed-hashing for message authentication. RFC 2104.
17. Boardgammon. “Provably fair dice.” Our page with the box that opens a game’s audit page.
18. Boardgammon. “Backgammon skill levels and PR.”
19. Boardgammon. The code of our app’s result screen and match-analysis sheet for an online game, read on October 11, 2026. The code is not public.

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