تاس تخته‌نرد آنلاین دست‌کاری می‌شود؟ چرا این‌طور به نظر می‌رسد و چطور خودتان آن را بسنجید

سه بار پشت‌سرهم مهرهٔ تکتان را می‌زنند، حریف درست همان وقتی که لازم دارد جفت شش می‌آورد و آخرش این فکر به سرتان می‌زند که این بازی تقلب می‌کند. اینکه تاس را کار بخت بدانیم تازه نیست. در متنی به پارسی میانه که روایت می‌کند بزرگمهر در شطرنج بر دانای هندی پیروز شد و نرد را ساخت، تخته معنایی کیهانی دارد و گردش مهره‌ها و آمدن تاس نشانهٔ بخت است^[1]. پشت تختهٔ چوبی، دست‌کم تاس جلوی چشم خودتان ریخته می‌شود؛ در بازی آنلاین فقط عددی روی صفحه می‌آید و طبیعی است بپرسید چه کسی آن را ساخته است.

دربارهٔ اپلیکیشن‌های دیگر نمی‌توانیم چیزی بگوییم؛ دربارهٔ بردگَمون اما این را می‌گوییم: در کدی که تاس بازی‌های آنلاین را می‌سازد، هیچ بخشی نیست که تاسی را انتخاب کند، عوض کند یا از نو بریزد^[2]. این حرف خود ماست؛ پایین‌تر عددها و روش سنجیدن هر تاس را می‌آوریم، با محدودیت‌هایش. روش کار، قدم‌به‌قدم، در صفحهٔ تاس عادلانه و قابل‌راستی‌آزمایی هم آمده است.

چرا تاس سالم هم مشکوک به نظر می‌رسد؟

بدگمانی به تاسِ کامپیوتر هم قدیمی است. در سال ۱۹۹۱ جیم هرلی در گروه خبری rec.games.backgammon دربارهٔ برنامهٔ Gammontool نوشت: «همیشه حس می‌کردم تقلب می‌کند، ولی به کد منبعش دسترسی دارم و هیچ سوگیری‌ای به نفع طرفی که تاس می‌ریزد ندارد.»^[3] در سال ۱۹۹۷ جری تسارو، که با عنوان سازندهٔ TD-Gammon امضا می‌کرد، نوشت مردم نه‌تنها به TD-Gammon، بلکه کمابیش به هر برنامه‌ای که آن‌قدر خوب باشد که زیاد ببرد بدگمان‌اند^[4]. راهنمای GNU Backgammon هم بخشی دارد با این عنوان: «فکر می‌کنم ربات تقلب می‌کند. همیشه تاس خوب می‌آورد.» جوابش این است که مولد تاس برنامه در حالت پیش‌فرض تقلب نمی‌کند^[5].

بار-هیلل و واگنار در سال ۱۹۹۱، در جمع‌بندی پژوهش‌هایی که دربارهٔ برداشت مردم از تصادف شده بود، نوشتند مردم در رشته‌هایی که واقعاً تصادفی‌اند خوشه و تکرار پشت‌سرهم می‌بینند و انتظار دارند نتیجه بیشتر از آنچه هست عوض شود، یا تکرارها کوتاه‌تر از واقع باشند^[6].

پژوهش دیگری که سال ۱۹۸۵ منتشر شد، دربارهٔ بسکتبال است، نه تاس. به ۱۰۰ نفر از طرفداران بسکتبال شش رشته از پرتاب‌های موفق و ناموفق نشان دادند تا بگویند هر کدام شانسی است، پیاپی یا یکی‌درمیان. رشته‌ای را که درست مثل سکه انداختن بین موفق و ناموفق عوض می‌شد (با احتمال ۰٫۵)، فقط ۳۲ درصد شانسی دانستند و ۶۲ درصد پیاپی؛ رشته‌هایی که به نظرشان بهترین نمونهٔ شانس بود، خیلی بیشتر عوض می‌شدند: با احتمال ۰٫۷ و ۰٫۸^[7]. نتیجه‌گیری اصلی آن مقاله دربارهٔ خود بازیکنان در سال ۲۰۱۸ زیر سؤال رفت: میلر و سانجورجو ثابت کردند معیارش سوگیری دارد و نوشتند که با اصلاح آن، نتیجه‌گیری‌های دیرینه‌اش برعکس می‌شود^[8]. ما از آن مقاله فقط یافته‌اش دربارهٔ طرفداران بسکتبال را آورده‌ایم.

کانمن و تورسکی در سال ۱۹۷۲ نوشتند مردم شانس را «پیش‌بینی‌ناپذیر ولی اساساً منصفانه» می‌بینند؛ یعنی انتظار دارند حتی چند بار سکه انداختن هم تقریباً به همان اندازه شیر بیاورد که خط^[9]. این حرف دربارهٔ انتظار مردم است، نه دربارهٔ خود شانس. اگر قرار باشد چند تاسِ پشت‌سرهم هم «منصفانه» باشند، پس بعد از سه تاس بد نوبت تاس خوب است. ولی تاس حافظه ندارد: بعد از سه تاس بد، تاس خوب نه محتمل‌تر است و نه کم‌احتمال‌تر^[10].

اتفاق بد هم از اتفاق خوب سنگین‌تر است. باومایستر و همکارانش در سال ۲۰۰۱ پژوهش‌های روان‌شناسی را مرور کردند و نتیجه گرفتند که رویداد بد از رویداد خوبی از همان نوع اثر بیشتری دارد، از اتفاق‌های روزمره تا رابطه‌ها، بازخورد و یادگیری. این مرور دربارهٔ تخته‌نرد یا تاس نیست و هیچ‌کدام از این دو واژه در آن نیامده است^[11]. در یکی از پژوهش‌هایی که شرح داده، کسانی که روی مسابقه‌های ورزشی شرط بسته بودند، حدود یک هفته بعد دربارهٔ بازی‌هایی که سرشان باخته بودند بیشتر حرف زدند تا دربارهٔ بازی‌هایی که برده بودند؛ ما شرح همین مرور را خوانده‌ایم، نه خود آن پژوهش را^[11].

جفت پشت جفت چقدر عادی است؟

دو تاس ۳۶ حالت هم‌شانس دارند و شش‌تایش جفت است؛ یعنی به‌طور میانگین از هر شش تاس یکی جفت است (۱۶٫۶۷ درصد) و یک جفت مشخص، مثلاً جفت شش، از هر ۳۶ تاس یکی (۲٫۷۸ درصد)^[10]. در جفت، عدد تاس چهار بار بازی می‌شود^[12]، همان‌طور که قوانین تخته‌نرد در بخش «جفت» آورده است.

حالا فرض کنید در یک بازی شما و حریفتان هر کدام ۲۵ بار تاس بریزید. با تاس سالم:

• به‌طور میانگین کمی بیشتر از چهار جفت می‌آورید (۴٫۱۷)؛
• احتمال اینکه دست‌کم یک جفت بیاورید ۹۸٫۹۵ درصد است، یعنی تقریباً ۹۹ درصد؛
• احتمال اینکه جایی دو جفت پشت‌سرهم بیاورید ۴۴٫۷۸ درصد است، نزدیک به نصف؛
• احتمال سه جفت پشت‌سرهم ۸٫۶۷ درصد است، تقریباً یک بازی از هر ۱۲ بازی؛
• و احتمال اینکه حریفتان دست‌کم دو جفت بیشتر از شما بیاورد ۲۸٫۲۸ درصد است؛ عکسش هم همین‌قدر است.

این عددها دقیق‌اند، نه حاصل شبیه‌سازی؛ همهٔ حالت‌های ۲۵ تاس را حساب کرده‌ایم^[10]. اگر ۲۰ بازی این‌طور بازی کنید، احتمال اینکه دست‌کم یکی از حریف‌هایتان جایی سه جفت پشت‌سرهم بیاورد ۸۳٫۶۸ درصد است، حدود ۸۴ درصد^[10]؛ یعنی حتی با تاس سالم هم به احتمال زیاد چنین چیزی را می‌بینید.

۴۳۸٬۶۷۹ تاس آنلاین را شمردیم

همهٔ تاس‌های ثبت‌شده از همهٔ بازی‌های آنلاینی را که کسی در بردگَمون بازی کرده است شمردیم، تاس‌های هر دو طرف را، از ۲۸ اردیبهشت تا ۱۸ مهر ۱۴۰۵. این عددها را روز ۱۹ مهر از پروندهٔ تاس‌های سرور بیرون کشیدیم^{[13, 14]}. روی‌هم ۴۳۸٬۶۷۹ بار تاس ریخته شده بود، یعنی ۸۷۷٬۳۵۸ عدد روی تاس‌ها، و ۷۳٬۱۷۹ بارش جفت بود: ۱۶٫۶۸ درصد، در برابر ۱۶٫۶۷ درصدِ تاس سالم^[13].

ولی جفت‌ها همه به یک اندازه نیامدند. با تاس سالم، میانگین هر جفت ۱۲٬۱۸۵٫۵ است، یعنی حدود ۱۲٬۱۸۶. جفت یک ۱۲٬۰۵۳ بار آمد، جفت دو ۱۲٬۲۴۴ بار، جفت سه ۱۲٬۲۰۹، جفت چهار ۱۲٬۱۶۳، جفت پنج ۱۲٬۰۶۳ و جفت شش ۱۲٬۴۴۷ بار. جفت شش از همه بیشتر آمد، ۲٫۱۵ درصد بالاتر از میانگین، و جفت یک از همه کمتر، ۱٫۰۹ درصد پایین‌تر^[13].

همهٔ ۳۶ حالت، برای اینکه خودتان حساب کنید

در این جدول، هر سطر عدد تاس اول است و هر ستون عدد تاس دوم^[13].

کمترین عدد جدول را حالتِ «تاس اول سه، تاس دوم چهار» دارد (۱۱٬۹۷۳) و بیشترین را جفت شش (۱۲٬۴۴۷). آزمون کای‌دو روی این ۳۶ عدد به ۴۲٫۲۵ می‌رسد، با ۳۵ درجهٔ آزادی و مقدار p برابر ۰٫۱۹؛ یعنی اگر تاس‌ها سالم باشند، از هر ۱۰۰ شمارش به همین بزرگی حدود ۱۹ تا جدولی دست‌کم به همین ناهمواری می‌دهند^[13].

از ۸۷۷٬۳۵۸ عددی که روی تاس‌ها آمد، سهم یک ۱۶٫۶۲ درصد بود، دو ۱۶٫۷۱، سه ۱۶٫۶۷، چهار ۱۶٫۶۰، پنج ۱۶٫۶۴ و شش ۱۶٫۷۶ درصد؛ سهم هر عدد در تاس سالم ۱۶٫۶۷ درصد است. شش از همه بیشتر آمده و چهار از همه کمتر^[13].

آزمون کای‌دو روی این شش عدد به ۹٫۶۲ می‌رسد، با ۵ درجهٔ آزادی و مقدار p برابر ۰٫۰۹: با تاس سالم، از هر ۱۰۰ شمارش حدود ۹ تا پخشی دست‌کم به همین نابرابری می‌دهند. زیاد پیش نمی‌آید، ولی نادر هم نیست^[13].

شش کمی بیشتر آمده؛ یعنی چه؟

اگر پیش از شمارش گفته بودیم «فقط شش را می‌پاییم»، فاصله‌ای به این اندازه از سهمش، بالا یا پایین، با تاس سالم حدود ۲ بار در ۱۰۰ بار پیش می‌آمد. ولی شش را بعد از شمارش انتخاب کردیم، چون از همه بیشتر آمده بود؛ و با تاس سالم، عددی که از همه دورتر از سهمش بیفتد، حدود ۱۱ بار در ۱۰۰ بار دست‌کم همین‌قدر دور است^[13]. پس انگشت گذاشتن روی بالاترین عدد، آن هم بعد از شمارش، آن را عجیب‌تر از آنچه هست نشان می‌دهد.

جفت شش هم همین‌طور است. یکی از ۳۶ حالت به هر حال باید از همه بیشتر بیاید، و با تاس سالم و شمارشی به این بزرگی، پرتکرارترین حالت در حدود یک شمارش از هر چهار، دست‌کم به اندازهٔ جفت شش ما از میانگین بالاتر است^[13]. این شمارش نه نشان می‌دهد که تاس‌ها به سمت شش کج‌اند و نه چنین چیزی را رد می‌کند^[13].

دیگران هم شمرده‌اند

در سال ۱۹۹۷ استیون ترنر، که پیامش را در همان گروه خبری با نشانی آزمایشگاه آمار کمبریج در انگلستان امضا کرده بود، ۱۰٬۵۹۳٬۱۲۱ تاس سرور تخته‌نرد FIBS را بررسی کرد. نمونهٔ کوچک‌تری که کس دیگری جمع کرده بود، جفتی بیش از آنچه شانس باید بدهد نشان داده بود؛ ترنر کمی پیش از آنکه این موضوع دیده شود، جمع کردن داده را شروع کرده بود. در شمارش او ۱۶٫۶۵۱ درصد تاس‌ها جفت بود و آزمون کای‌دو هم نشانه‌ای از سوگیری پیدا نکرد. خودش هم نوشت که این بررسی همهٔ سوگیری‌های ممکن را نمی‌سنجد^[15].

از شمارش چه چیزی برنمی‌آید؟

جدولی که می‌گوید هر حالت چند بار آمده، به این بستگی ندارد که هر تاس کی آمد و به چه کسی رسید: همین تاس‌ها را به هر ترتیبی بچینید و به هر بازیکنی که بخواهید بدهید، همین جدول درمی‌آید^[10]. پس شمارش می‌تواند نشان دهد تاس‌ها روی‌هم‌رفته کج هستند یا نه، ولی نمی‌تواند نشان دهد که هیچ تاسی عوض یا برای لحظه‌ای خاص انتخاب نشده است. نمی‌گوید جفت چند بار پشت جفت آمده، چون ترتیب تاس‌ها در آن نیست، و فقط الگوهایی را می‌سنجد که آزموده‌ایم. این شمارش هم کار خود ماست، از پروندهٔ سرور خودمان؛ برای همین همهٔ ۳۶ عدد را آوردیم تا هر کسی بتواند آزمون را دوباره انجام دهد.

هر تاس پیش از آمدن قفل می‌شود

برای اینکه هر تاس را جدا هم بشود سنجید، سرور هر تاس را پیش از آمدن قفل می‌کند. اول حرف خودمان، که بر کد سرور تکیه دارد: سرور هر تاس را فقط یک بار می‌سازد، از عددی محرمانه که از منبع تصادفی امن سیستم برداشته می‌شود، به‌اضافهٔ عدد دوم و سه برچسب، و از وضعیت بازی یا بازیکن‌ها چیزی وارد این حساب نمی‌شود^[2]. آنچه بیرون از سرور هم دیده می‌شود، این چهار قدم است.

۱. عدد محرمانه و اثر انگشتش

هر بار که نوبت تاس می‌رسد، سرور برای همان یک تاس عدد محرمانهٔ تازه‌ای می‌سازد، ۳۲ بایت تصادفی، و پیش از آشکار شدن تاس فقط اثر انگشتش را اعلام می‌کند؛ این اثر انگشت با روش SHA-256 ساخته می‌شود^[2]. «قفل شدن» یعنی همین. طبق «استاندارد هش ایمن» آمریکا، که SHA-256 یکی از روش‌های آن است، در عمل کسی نمی‌تواند از اثر انگشت به خود عدد برسد یا عدد دیگری با همان اثر انگشت بسازد^[16]. عددی که بعداً آشکار شود و با اثر انگشت ثبت‌شده نخواند، در بررسی رد می‌شود^[2]. این قفل برای هر تاس جدا و درست پیش از همان تاس زده می‌شود؛ تاس‌های یک بازی از همان اول یک‌جا تعیین نمی‌شوند^[2].

۲. عدد دوم

وقتی کسی در بازی زنده تاس می‌ریزد، اپلیکیشنِ روی دستگاه خودش یک عدد تصادفی ۱۶ بایتی می‌سازد و همراه درخواست آشکار کردن تاس می‌فرستد؛ سرور بی این عدد تاس را آشکار نمی‌کند. شما عدد محرمانه را تا آمدن تاس نمی‌بینید، پس با عددی که دستگاهتان می‌فرستد نمی‌توانید تاس را به سمتی ببرید. وقتی سرور تاسی می‌ریزد که دستگاه هیچ بازیکنی در آن دخالت ندارد، مثلاً در بازی مکاتبه‌ای که هر کس هر وقت فرصت داشت نوبتش را بازی می‌کند، عدد دوم را هم خودش می‌سازد^[2].

۳. ترکیب

تاس با HMAC حساب می‌شود، روشی منتشرشده برای ساختن اثر انگشت با کلیدی محرمانه^[17]. کلیدش عدد محرمانهٔ سرور است و ورودی‌اش شناسهٔ بازی، شناسهٔ همان تاس، یک شمارنده و عدد دوم. شمارنده با هر تاسی که شروع می‌شود یکی بالا می‌رود و ممکن است عددی را جا بیندازد، پس شمارهٔ ترتیب تاس در بازی نیست. ورودی دیگری در کار نیست، نه جای مهره‌ها، نه امتیاز، نه اینکه چه کسی بازی می‌کند؛ پس این حساب به کسی که عقب یا جلو است، یا پولی داده یا نداده، نه کمکی می‌کند و نه ضرری می‌زند^[2].

خروجی این ترکیب با قاعده‌ای به دو عدد تاس تبدیل می‌شود که شانس هر عدد را دقیقاً یک‌ششم نگه می‌دارد. خروجی ردیفی از بایت‌هاست و هر بایت ۲۵۶ مقدار ممکن دارد؛ مقدارهای ۲۵۲ و بالاتر کنار گذاشته می‌شوند و هر بایتِ دیگر با باقی‌ماندهٔ تقسیمش بر شش، به‌علاوهٔ یک، به عددی از یک تا شش تبدیل می‌شود. پس هر عدد ۴۲ تا از ۲۵۲ مقدار را دارد. صفحهٔ راستی‌آزمایی هر بازی این قاعده را کامل نوشته است^[2].

۴. آشکار شدن و بررسی

سرور عدد محرمانه را همراه خود تاس آشکار می‌کند و همهٔ این عددها، از اثر انگشت تا خود تاس، در رسید آن تاس ثبت می‌شوند^[2]. برای تاسی که خودتان می‌ریزید، و فقط برای همان، اپلیکیشن بررسی می‌کند که عدد آشکارشده با اثر انگشتی که پیش از تاس گرفته بود بخواند، و با عددهای پاسخ سرور تاس را دوباره حساب می‌کند. نتیجه را نگه می‌دارد ولی نشان نمی‌دهد؛ این بررسی پشت صحنه است و تاس‌های حریف را روی دستگاه شما نمی‌سنجد^[2].

دو قاعدهٔ دیگر هم هست. تا تاس آشکارشده بازی نشود، سرور تاس تازه‌ای شروع نمی‌کند؛ پس نمی‌شود تاس بد را کنار گذاشت و دوباره ریخت^[2]. و هر تاس را سرور حساب می‌کند؛ اپلیکیشن شما فقط عددش را اضافه می‌کند و نتیجه را بررسی می‌کند. سرور هر حرکت را هم با تاسی که خودش نگه داشته با قوانین می‌سنجد، پس اپلیکیشنی که دست‌کاری شده باشد نه می‌تواند از خودش تاس بسازد و نه حرکت غیرقانونی بکند^[2].

رسید چه چیزی را نشان نمی‌دهد؟

وقتی عدد دوم از دستگاه شما می‌آید، سرور عدد محرمانه را پیش از آنکه آن عدد وجود داشته باشد قفل کرده است؛ پس در لحظهٔ قفل کردن نمی‌تواند بداند تاس چه خواهد شد. این را ترتیب کارها در سرور می‌گوید، نه رسید^[2].

بررسی اپلیکیشن هم حدی دارد. برای این بررسی، اپلیکیشن فقط دو چیز را از آنچه خودش نگه داشته برمی‌دارد: شناسهٔ بازی و اثر انگشتی که هنگام قفل شدن گرفته بود. شناسهٔ تاس، شمارنده و عدد دوم را از پاسخ سرور می‌گیرد؛ عدد دوم را با عددی که خودش فرستاده مقایسه نمی‌کند و شمارنده هم همراه اثر انگشت نمی‌آید. پس این بررسی نشان می‌دهد که عدد محرمانه اول قفل شده و تاس از عددهای رسید درآمده است، ولی نشان نمی‌دهد که عدد دوم رسید همان عدد دستگاه شماست، و این را هم رد نمی‌کند که سرور پس از دیدن عدد شما از میان چند شمارنده یکی را برگزیند. هیچ‌کدام، نه رسید و نه این بررسی، ثابت نمی‌کند که سرور نمی‌توانسته تاس را بداند یا انتخاب کند^[2].

وقتی عدد دوم را هم سرور می‌سازد، مثل بازی مکاتبه‌ای، هر دو عدد پیش از ساخته شدن تاس در دست اوست. آن‌وقت رسید فقط نشان می‌دهد که تاس بعد از ثبت عوض نشده است و هیچ‌چیز در آن نمی‌تواند نشان دهد که سرور تاس را از پیش نمی‌دانسته یا انتخابش نکرده است. برای این تاس‌ها فقط همان شمارش را داریم، با همهٔ محدودیت‌هایش^[2].

یک تاس را خودتان بررسی کنید

وقتی یک بازی آنلاینِ زنده تمام می‌شود، در صفحهٔ نتیجه پیوندی هست با عنوان «بررسی منصفانه‌بودن تاس‌ها» که فهرست تاس‌های همان بازی را باز می‌کند: شناسهٔ بازی بالای فهرست است (چیزی شبیه mat_…) و کنار هر تاس، رأی خود سرور دربارهٔ درستی‌اش. اپلیکیشن دکمه‌ای برای کپی کردن شناسه ندارد و از این فهرست هم به صفحهٔ عمومی راستی‌آزمایی پیوندی نیست؛ پس شناسه را یادداشت کنید و خودتان در کادر صفحهٔ تاس عادلانه و قابل‌راستی‌آزمایی بنویسید^{[2, 18]}. صفحه‌ای که باز می‌شود، صفحهٔ راستی‌آزمایی همان بازی است، به نشانی api.boardgammon.com/audit/ و پس از آن شناسهٔ بازی^[18].

این صفحه، هر زبانی که برای اپلیکیشن یا سایت انتخاب کرده باشید، فقط به انگلیسی است و نام‌ها را هم به انگلیسی آورده: اثر انگشت را «commitment»، عدد محرمانه را «server seed»، عدد دوم را «client entropy» و شمارنده را «nonce»^[2]. برای هر تاسِ هر دو بازیکن، این چهار عدد و خود تاس را می‌آورد و هر بار که باز شود، همه را دوباره می‌سنجد. پایینش برنامهٔ کوتاهی به زبان پایتون هست که جز خود پایتون به چیزی نیاز ندارد و با اولین تاس همان بازی پر شده است: اثر انگشت عدد آشکارشده را می‌سازد و با اثر انگشت صفحه مقایسه می‌کند، ترکیب را دوباره حساب می‌کند و تاس به‌دست‌آمده را با تاس صفحه می‌سنجد، و اگر هر کدام نخواند با خطا می‌ایستد. برای سطرهای دیگر، عددهای همان سطر را جایگزین کنید^[2].

اگر بررسی بی‌خطا تمام شود، یعنی آن تاس از همان عددهای رسیدش درآمده است؛ تاسی که از عددهای رسیدش درنیاید رد می‌شود^[2]. بیش از این را، همان‌طور که بالاتر گفتیم، رسید نشان نمی‌دهد.

بازی با کامپیوتر حساب دیگری دارد

اگر خودتان بازی با هوش مصنوعی را انتخاب کنید، ماجرا فرق می‌کند. این بازی روی دستگاه خودتان اجرا می‌شود: تاس هر دو طرف از یک مولد عدد تصادفی در خود اپلیکیشن می‌آید و کامپیوتر بعد از ریخته شدن تاسش، حرکتش را انتخاب می‌کند. سروری این تاس‌ها را نمی‌ریزد، پس نه اثر انگشت دارند و نه رسیدی برای بررسی، و در شمارش ما هم نیستند. این توصیف کد است، نه اثبات^[2].

باخت از تاس بود یا از تصمیم‌ها؟

اگر هنوز فکر می‌کنید تاس شما را زد، این را هم می‌شود با عدد دید. وقتی یک بازی آنلاینِ زنده را که خودتان بازی کرده‌اید تمام می‌کنید، در صفحهٔ نتیجه دکمه‌ای هست که با «دیدن تحلیل مسابقه» شروع می‌شود؛ اگر در بازی اشتباه فاحشی شده باشد، تعدادش هم کنارش می‌آید. تا تحلیل سرور تمام نشده، صفحه‌ای که باز می‌شود فقط نشان می‌دهد که بازی دارد تحلیل می‌شود. بعد دو چیز با هم می‌آید: شانس هر طرف در همان بازی، با یک عدد برای سفید و یکی برای سیاه، و یک PR (رتبهٔ عملکرد) برای کل بازی. این PR نمره‌ای است برای حرکت‌هایی که هر دو بازیکن در آن بازی کرده‌اند، نه برای نتیجه؛ تصمیم‌های مکعب دوبل در آن حساب نمی‌شوند و تحلیل آن‌ها را جداگانه نشان می‌دهد. این تحلیل را فقط کسانی می‌بینند که در آن بازی بوده‌اند. PR به‌طور کلی تصمیم‌ها را می‌سنجد نه نتیجه را؛ برای همین شانس آن را جابه‌جا نمی‌کند، و ممکن است بازی را ببازید و باز بهتر از حریف بازی کرده باشید^[19]. معنی عددهای PR در صفحهٔ سطح مهارت در تخته‌نرد آمده است.

اگر می‌خواهید همهٔ این‌ها را روی بازی خودتان امتحان کنید، یک دست تخته‌نرد آنلاین بازی کنید و بعد از بازی از صفحهٔ نتیجه شروع کنید.

در کنار شناخت احتمالات تاس، تسلط بر مراحل حساس مسابقه ضرورت دارد: راهنمای ما پیرامون برداشتن مهره‌ها در تخته‌نرد را بخوانید و همچنین با تکنیک خنثی کردن مات ردیف آخر در شطرنج برای تقویت دید تاکتیکی خود آشنا شوید.

منابع

1. Gardner, I. (2020). Backgammon and cosmology at the Sasanian court. Bulletin of the School of Oriental and African Studies, 83(2), 249–257.
2. Boardgammon. The code that makes and checks the dice on our server and in our app, and the audit page it produces for each online game, read on October 11, 2026. The code is not public; every audit page prints the full recipe.
3. Hurley, J. (1991, September 24). “Computer cheats, was - Information on gammontool.” Post to the newsgroup rec.games.backgammon, kept in the Backgammon Galore forum archive as “Does Gammontool cheat?”
4. Tesauro, G. (1997, February 13). “Re: TD-GAMMON with OS/2 WARP 4.” Post to the newsgroup rec.games.backgammon, kept in the Backgammon Galore forum archive as “Does TD-Gammon cheat?”
5. GNU Backgammon Manual V0.16, section 12.4.7, “I think the bot is cheating. It always gets good dice.”
6. Bar-Hillel, M., & Wagenaar, W. A. (1991). The perception of randomness. Advances in Applied Mathematics, 12(4), 428–454.
7. Gilovich, T., Vallone, R., & Tversky, A. (1985). The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences. Cognitive Psychology, 17(3), 295–314.
8. Miller, J. B., & Sanjurjo, A. (2018). Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers. Econometrica, 86(6), 2019–2047.
9. Kahneman, D., & Tversky, A. (1972). Subjective probability: A judgment of representativeness. Cognitive Psychology, 3(3), 430–454.
10. Boardgammon. Our own exact calculations for two fair dice, made for this article on October 11, 2026: 36 equally likely outcomes, and the chance of each count and each run of doubles for a player who rolls 25 times.
11. Baumeister, R. F., Bratslavsky, E., Finkenauer, C., & Vohs, K. D. (2001). Bad is stronger than good. Review of General Psychology, 5(4), 323–370.
12. Boardgammon. “Backgammon rules,” section 9, “Doubles.”
13. Boardgammon. Our count of every dice roll on record from every online backgammon game a person played in, from May 18 to October 10, 2026: 438,679 rolls (877,358 dice). Read from the server’s dice record on October 11, 2026. All 36 counts are printed in this article.
14. Boardgammon. Our own conversion of the count's dates to the Solar Hijri calendar, made on October 11, 2026 with Intl.DateTimeFormat in the locale fa-IR-u-ca-persian, the one the site formats Persian dates with.
15. Turner, S. (1997, April 5). “Re: Randomness and FIBS dice (with 10 MILLION ROLLS!!).” Post to the newsgroup rec.games.backgammon, kept in the Backgammon Galore forum archive as “FIBS: Analysis of 10 million rolls.”
16. National Institute of Standards and Technology (2015, August). Secure Hash Standard (SHS). FIPS PUB 180-4.
17. Krawczyk, H., Bellare, M., & Canetti, R. (1997, February). HMAC: Keyed-hashing for message authentication. RFC 2104.
18. Boardgammon. “Provably fair dice.” Our page with the box that opens a game’s audit page.
19. Boardgammon. “Backgammon skill levels and PR.”
20. Boardgammon. The code of our app’s result screen and match-analysis sheet for an online game, read on October 11, 2026. The code is not public.

غلطی دیدید یا جمله‌ای به گوشتان غریب آمد؟ به ما خبر بدهید