Είναι στημένα τα ζάρια στο online τάβλι; Τι έδειξαν 438.679 ζαριές και πώς ελέγχεις εσύ μία

Έχεις πούλι στην μπάρα, ο αντίπαλος έχει κλείσει πέντε πόρτες στο σπίτι του και σου μένει μόνο μία θέση για να μπεις. Δεν φέρνεις να μπεις. Εκείνος φέρνει εξάρες, στην επόμενη ζαριά πάλι διπλές, και κάπου εκεί γεννιέται η ερώτηση: είναι στημένα τα ζάρια στο online τάβλι;

Για κάθε εφαρμογή με τάβλι δεν μπορούμε να απαντήσουμε. Για τα δικά μας ζάρια μπορούμε, με βάση τον κώδικα που τα βγάζει, και ένα μέρος της απάντησης το ελέγχεις κι εσύ: στο Boardgammon κάθε ζαριά μιας online παρτίδας κλειδώνει πριν βγει, και μετά την παρτίδα την ξαναϋπολογίζεις από την καταγραφή της. Τον μηχανισμό τον περιγράφει η σελίδα μας για τα αποδεδειγμένα δίκαια ζάρια· εδώ θα τον βρεις βήμα βήμα. Πρώτα όμως, το ερώτημα πίσω από το ερώτημα: γιατί τα δίκαια ζάρια μοιάζουν τόσο συχνά στημένα;

Η γκρίνια για τα ζάρια είναι παλιότερη από το ίντερνετ

Τον 6ο αιώνα μ.Χ. ο Αγαθίας ο Σχολαστικός έγραψε ένα επίγραμμα για μια παρτίδα τάβλης του αυτοκράτορα Ζήνωνα. Ο Ζήνων παίζει με τα Λευκά, ρίχνει τρία ζάρια, φέρνει 2, 6 και 5 και μονομιάς μένει με οκτώ μονά πούλια. Ο ποιητής δεν κατηγορεί κανέναν ότι πείραξε τα ζάρια. Κλείνει με μια συμβουλή, «τάβλην φεύγετε πάντες», αφού ούτε ο ίδιος ο βασιλιάς δεν γλίτωσε από την παράλογη τύχη της^[1].

Με τους υπολογιστές η γκρίνια απέκτησε και ύποπτο. Στις 24 Σεπτεμβρίου 1991 ο Jim Hurley έγραψε στην ομάδα συζήτησης rec.games.backgammon ότι πάντα ένιωθε πως το πρόγραμμα Gammontool κλέβει· είχε όμως τον πηγαίο κώδικα, και ο κώδικας δεν έγερνε τα ζάρια υπέρ εκείνου που έριχνε^[2]. Το 1997 ο Gerry Tesauro, που υπέγραφε ως δημιουργός του TD-Gammon, έγραψε ότι ο κόσμος υποψιαζόταν όχι μόνο το TD-Gammon αλλά, κατά βάση, κάθε πρόγραμμα αρκετά καλό για να κερδίζει πολλές παρτίδες^[3]. Και το εγχειρίδιο του GNU Backgammon απαντά σε ειδική ενότητα στο παράπονο ότι το πρόγραμμα φέρνει πάντα καλά ζάρια: με τις προεπιλεγμένες ρυθμίσεις η γεννήτρια των ζαριών δεν κλέβει^[4].

Γιατί τα δίκαια ζάρια μοιάζουν στημένα

Όπως συνοψίζουν οι Bar-Hillel και Wagenaar σε άρθρο του 1991 για το πώς κρίνουμε το τυχαίο, βλέπουμε σερί σε ακολουθίες που είναι πραγματικά τυχαίες και περιμένουμε περισσότερες εναλλαγές, ή πιο κοντά σερί, απ’ ό,τι συμβαίνει στην πραγματικότητα^[5].

Ένα παράδειγμα δίνει μια μελέτη του 1985 για τα σουτ στο μπάσκετ. Σε 100 φιλάθλους έδειξαν έξι σειρές από εύστοχα και άστοχα σουτ και τους ζήτησαν να πουν αν καθεμία δείχνει τύχη, «σερί» ή εναλλαγή. Τη σειρά που άλλαζε όσο συχνά αλλάζει όψη ένα κέρμα (πιθανότητα εναλλαγής 0,5) μόνο το 32% την είπε τύχη· το 62% είδε σερί. Ως καλύτερα παραδείγματα τύχης διάλεξαν σειρές που άλλαζαν πολύ πιο συχνά, με πιθανότητα 0,7 και 0,8^[6]. Το συμπέρασμά της για τους ίδιους τους μπασκετμπολίστες, ότι δεν σουτάρουν στ’ αλήθεια σε σερί, αμφισβητήθηκε το 2018: οι Miller και Sanjurjo απέδειξαν ότι ο τρόπος που μέτρησε είναι μεροληπτικός και βρήκαν ότι, μόλις διορθωθεί, τα συμπεράσματά της αντιστρέφονται^[7]. Εδώ κρατάμε μόνο το πώς είδαν οι φίλαθλοι τις σειρές.

Οι Kahneman και Tversky έγραψαν το 1972 ότι βλέπουμε την τύχη ως απρόβλεπτη αλλά κατά βάθος δίκαιη: περιμένουμε ακόμη και λίγες ρίψεις ενός κέρματος να βγάλουν περίπου όσες κορόνες και όσα γράμματα^[8]. Μιλούσαν για το τι περιμένουμε, όχι για το πώς είναι η τύχη. Όποιος περιμένει το ίδιο από τα ζάρια θα βρει ύποπτη μια παρτίδα όπου οι διπλές δεν μοιράστηκαν «δίκαια».

Μια ανασκόπηση του 2001 που συγκέντρωσε ψυχολογικές έρευνες κατέληξε ότι τα κακά γεγονότα μάς επηρεάζουν περισσότερο από τα καλά του ίδιου είδους, από την καθημερινότητα και τις σχέσεις ως την κριτική και τη μάθηση^[9]. Για τάβλι ή ζάρια δεν λέει λέξη, κυριολεκτικά: οι δύο λέξεις δεν υπάρχουν καν μέσα της. Περιγράφει όμως μια μελέτη, που τη διαβάσαμε μόνο μέσα από την ανασκόπηση, όπου όσοι είχαν στοιχηματίσει σε αθλητικούς αγώνες μιλούσαν, περίπου μια εβδομάδα αργότερα, περισσότερη ώρα για τους αγώνες όπου έχασαν παρά για εκείνους όπου κέρδισαν^[9]. Ποια ζαριά θυμάσαι από την τελευταία παρτίδα που έχασες;

Πόσο συχνά έρχονται οι διπλές;

Δύο δίκαια ζάρια έχουν 36 ισοπίθανα αποτελέσματα, αν ξεχωρίζεις το πρώτο από το δεύτερο. Έξι από αυτά είναι διπλές, άρα διπλές έρχονται μία φορά στις έξι ζαριές (16,67%) και μια συγκεκριμένη διπλή, οι εξάρες ας πούμε, μία φορά στις 36 (2,78%). Και τα ζάρια δεν έχουν μνήμη: μετά από τρεις κακές ζαριές, μια καλή δεν είναι πιο πιθανή απ’ ό,τι άλλοτε^[10]. Επειδή οι διπλές παίζονται τέσσερις φορές, όπως ορίζουν οι κανόνες του ταβλιού^[11], μια διπλή δίνει διπλάσιες κινήσεις από μια απλή ζαριά. Η σελίδα των κανόνων περιγράφει το διεθνές τάβλι, δηλαδή πόρτες με κύβο διπλασιασμού και τριπλό.

Πάρε, για παράδειγμα, μια παρτίδα όπου ρίχνεις 25 φορές. Με δίκαια ζάρια^[10]:

• φέρνεις κατά μέσο όρο περίπου τέσσερις διπλές (4,17)·
• τουλάχιστον μία, με πιθανότητα 98,95%·
• διπλές δύο φορές στη σειρά, έστω μία φορά, με 44,78%: σχεδόν σε μία παρτίδα στις δύο·
• τρεις φορές στη σειρά με 8,67%, περίπου σε μία παρτίδα στις 12·
• ο αντίπαλος, που ρίχνει κι αυτός 25 φορές, φέρνει τουλάχιστον δύο διπλές περισσότερες από σένα με 28,28%, όπως κι εσύ απέναντί του.

Τα νούμερα δεν είναι προσομοίωση αλλά ακριβής λογαριασμός, από όλους τους δυνατούς συνδυασμούς διπλής και όχι διπλής σε 25 ζαριές.

Σε 20 τέτοιες παρτίδες η πιθανότητα να δεις κάποιον αντίπαλο να φέρνει διπλές τρεις φορές στη σειρά είναι 83,68%, περίπου 84%^[10]. Το «πάλι διπλές;» δεν αποδεικνύει τίποτα· είναι αυτό που κάνουν τα δίκαια ζάρια, αν παίξεις αρκετά.

Τι έδειξαν 438.679 ζαριές

Μετρήσαμε κάθε ζαριά που υπάρχει στην καταγραφή από κάθε online παρτίδα του Boardgammon όπου έπαιξε άνθρωπος, και των δύο παικτών: από την πρώτη τέτοια ζαριά, στις 18 Μαΐου 2026, ως και τις 10 Οκτωβρίου 2026, όπως ήταν η καταγραφή του διακομιστή μας (του server) στις 11 Οκτωβρίου. Βγήκαν 438.679 ζαριές, δηλαδή 877.358 ζάρια, όλα από τον ίδιο δημοσιευμένο αλγόριθμο. Όλες είναι από παρτίδες διεθνούς ταβλιού, δηλαδή πόρτες με τους διεθνείς κανόνες και το συνηθισμένο στήσιμο, και καμία από άλλη παραλλαγή^[12].

Από αυτές, 73.179 ήταν διπλές: 16,68%, ενώ τα δίκαια ζάρια δίνουν 16,67%. Οι έξι διπλές όμως δεν ήρθαν όλες το ίδιο συχνά. Οι εξάρες βγήκαν 12.447 φορές, 2,15% πάνω από τον μέσο όρο των περίπου 12.186 που δίνουν τα δίκαια ζάρια, και οι άσοι 12.053, 1,09% κάτω^[12].

Ακολουθούν οι 36 μετρήσεις, για όποιον θέλει να ξανακάνει τον έλεγχο: στις γραμμές το πρώτο ζάρι, στις στήλες το δεύτερο, άρα το 3-4 και το 4-3 μετρούν χωριστά^[12].

Η πιο σπάνια ζαριά ήταν το 3-4, με 11.973 φορές, και η πιο συχνή οι εξάρες, με 12.447. Ο έλεγχος χ² στις 36 μετρήσεις δίνει 42,25 με 35 βαθμούς ελευθερίας και p = 0,19: δίκαια ζάρια θα έδιναν πίνακα τόσο ανομοιόμορφο ή και περισσότερο περίπου 19 φορές στις 100^[12].

Μήπως τα ζάρια μας ευνοούν το 6;

Στα 877.358 ζάρια το 6 ήρθε πιο συχνά από κάθε άλλον αριθμό, στο 16,76%, και το 4 πιο σπάνια, στο 16,60%· ένα δίκαιο ζάρι δίνει 16,67% σε κάθε αριθμό. Ο έλεγχος χ² στους έξι αριθμούς δίνει 9,62 με πέντε βαθμούς ελευθερίας και p = 0,09: δίκαια ζάρια θα έδιναν τόση απόκλιση ή μεγαλύτερη περίπου εννέα φορές στις 100. Ασυνήθιστο, όχι σπάνιο^[12].

Το 6 μόνο του μοιάζει πιο ασυνήθιστο απ’ όσο λέει ο έλεγχος στους έξι αριθμούς. Αν το είχαμε διαλέξει πριν από τη μέτρηση, με δίκαια ζάρια τόση απόκλιση, προς τα πάνω ή προς τα κάτω, θα τη βλέπαμε περίπου δύο φορές στις 100. Το διαλέξαμε όμως αφού είδαμε τα νούμερα, και με δίκαια ζάρια όποιος αριθμός βρεθεί πιο μακριά από το μερίδιό του απέχει τόσο ή περισσότερο περίπου 11 φορές στις 100. Το ίδιο και με τις εξάρες, την πιο συχνή ζαριά από τις 36: κάποια θα έβγαινε πρώτη, και με δίκαια ζάρια, σε μέτρηση αυτού του μεγέθους, η πρώτη ξεπερνά τον μέσο όρο τουλάχιστον όσο οι δικές μας εξάρες περίπου μία φορά στις τέσσερις^[12]. Συνολικά η μέτρηση δεν ξεφεύγει από όσα δίνουν τα δίκαια ζάρια, και ούτε δείχνει ότι τα ζάρια μας γέρνουν προς το 6 ούτε το αποκλείει.

Δεν είμαστε οι πρώτοι που μέτρησαν. Στις 5 Απριλίου 1997 ο Stephen Turner, που υπέγραφε με τη διεύθυνση του Statistical Laboratory στο Κέιμπριτζ, δημοσίευσε μια μέτρηση 10.593.121 ζαριών του FIBS, ενός διακομιστή όπου έπαιζαν τάβλι μέσω ίντερνετ. Την είχε ξεκινήσει λίγο πριν φανεί ότι ένα μικρότερο δείγμα, που είχε μαζέψει κάποιος άλλος, είχε περισσότερες διπλές απ’ όσες θα έπρεπε. Στη δική του μέτρηση οι διπλές ήταν 16,651% και ο έλεγχος χ² δεν βρήκε ένδειξη μεροληψίας. Έγραψε όμως ο ίδιος ότι η ανάλυσή του δεν ελέγχει κάθε πιθανή μεροληψία^[13].

Τι δεν μπορεί να δείξει η μέτρηση

Ένας πίνακας που λέει πόσες φορές βγήκε κάθε ζαριά μένει ίδιος, όποια σειρά κι αν είχαν οι ζαριές και σε όποιον παίκτη κι αν έπεσαν. Δείχνει αν τα ζάρια γέρνουν κάπου συνολικά, αλλά δεν μπορεί να δείξει ότι καμία ζαριά δεν άλλαξε ή δεν διαλέχτηκε επίτηδες για εκείνη τη στιγμή της παρτίδας, ούτε πόσο συχνά ήρθαν διπλές μετά από διπλές, αφού σειρά δεν έχει μέσα του^[10]. Οι έλεγχοι εξετάζουν μόνο ό,τι ρωτούν: αν κάποιο από τα 36 αποτελέσματα ή κάποιος αριθμός βγαίνει πιο συχνά ή πιο σπάνια απ’ όσο θα έπρεπε. Και τη μέτρηση την κάναμε εμείς, από τη δική μας καταγραφή.

Γι’ αυτό μια μέτρηση δεν φτάνει. Κάθε ζαριά πρέπει να κλειδώνει πριν βγει, και αυτό κάνει ο διακομιστής μας.

Πώς κλειδώνει μια ζαριά πριν τη δεις

Σε μια online παρτίδα τη ζαριά τη βγάζει ο διακομιστής· η εφαρμογή σου απλώς προσθέτει τον δικό της αριθμό και ελέγχει το αποτέλεσμα^[14]. Τα βήματα:

1. Το μυστικό. Λίγο πριν από κάθε ζαριά ο διακομιστής βγάζει καινούργιο τυχαίο μυστικό 32 bytes μόνο γι’ αυτήν και δίνει στην εφαρμογή σου μόνο το αποτύπωμά του, το SHA-256 του. Από ένα αποτύπωμα κανείς δεν μπορεί στην πράξη να βρει το μυστικό, ούτε άλλο μυστικό με το ίδιο αποτύπωμα^[15]. Έτσι το μυστικό κλειδώνει: άλλο μυστικό δεν θα ταίριαζε με το αποτύπωμα και θα κοβόταν στον έλεγχο. Κάθε ζαριά κλειδώνει χωριστά, όχι τα ζάρια όλης της παρτίδας από πριν^[14].
2. Ο δεύτερος αριθμός. Όταν ρίχνεις εσύ σε ζωντανή παρτίδα, η εφαρμογή στη συσκευή σου βγάζει δικό της τυχαίο αριθμό 16 bytes και τον στέλνει με το αίτημα να φανεί η ζαριά· χωρίς αυτόν ο διακομιστής δεν τη φανερώνει. Το μυστικό δεν το έχεις δει, άρα με τον αριθμό σου δεν μπορείς να κατευθύνεις τα ζάρια^[14].
3. Το ανακάτεμα. Τα ζάρια βγαίνουν με HMAC-SHA256, μια δημοσιευμένη μέθοδο για να φτιάχνεις αποτύπωμα με μυστικό κλειδί^[16]. Κλειδί είναι το μυστικό, και μέσα μπαίνουν μόνο το αναγνωριστικό της παρτίδας, το αναγνωριστικό της ζαριάς, ένας μετρητής και ο δεύτερος αριθμός. Ο μετρητής μπορεί να πηδήξει νούμερο, άρα δεν είναι η σειρά της ζαριάς στην παρτίδα. Θέση, σκορ και παίκτες δεν μπαίνουν πουθενά: ο υπολογισμός δεν ξέρει αν προηγείσαι, αν χάνεις ή αν πληρώνεις^[14].
4. Τα ζάρια. Το αποτέλεσμα του ανακατέματος είναι μια σειρά από bytes, και γίνεται δύο ζάρια με έναν κανόνα που δίνει σε κάθε αριθμό από το 1 ως το 6 ακριβώς μία πιθανότητα στις έξι: από τις 256 τιμές που μπορεί να έχει ένα byte αφήνει έξω όσες είναι 252 και πάνω, και από τις 252 που μένουν αντιστοιχούν 42 σε κάθε αριθμό. Η σελίδα ελέγχου της παρτίδας, που θα βρεις πιο κάτω, γράφει ολόκληρο τον κανόνα^[14].
5. Η αποκάλυψη. Ο διακομιστής φανερώνει το μυστικό μαζί με τη ζαριά. Στις ζαριές που ρίχνεις εσύ, και μόνο σε αυτές, η εφαρμογή ελέγχει στο παρασκήνιο ότι το μυστικό ταιριάζει με το αποτύπωμα που πήρε πριν από τη ζαριά και ξανακάνει τον υπολογισμό με τους αριθμούς της απάντησης. Το αποτέλεσμα το κρατά χωρίς να σου το δείχνει· τις ζαριές του αντιπάλου δεν τις ελέγχει στη συσκευή σου^[14].

Ο διακομιστής δεν ξεκινά άλλη ζαριά πριν παιχτεί εκείνη που φανερώθηκε, άρα κανείς δεν ξαναρίχνει επειδή δεν του άρεσε η ζαριά του. Και ελέγχει κάθε κίνηση με τους κανόνες και τη ζαριά που κρατά ο ίδιος: μια πειραγμένη εφαρμογή δεν φτιάχνει ζαριά ούτε περνά παράνομη κίνηση^[14].

Τι αποδεικνύει η καταγραφή και τι όχι

Όταν ο δεύτερος αριθμός έρχεται από τη συσκευή σου, ο διακομιστής έχει κλειδώσει το μυστικό πριν καν υπάρξει αυτός ο αριθμός: τη στιγμή που το κλειδώνει, δεν μπορεί να ξέρει τη ζαριά. Αυτό αφορά τη σειρά των βημάτων στον διακομιστή· η καταγραφή δεν το αποδεικνύει^[14].

Για τον έλεγχό της στο παρασκήνιο η εφαρμογή παίρνει από όσα κρατά η ίδια μόνο δύο πράγματα: το αναγνωριστικό της παρτίδας και το αποτύπωμα που πήρε όταν κλείδωσε η ζαριά. Το αναγνωριστικό της ζαριάς, τον μετρητή και τον δεύτερο αριθμό τα παίρνει από την απάντηση του διακομιστή, και δεν συγκρίνει αυτόν τον δεύτερο αριθμό με εκείνον που έστειλε η συσκευή σου· τον μετρητή, άλλωστε, δεν τον μαθαίνει μαζί με το αποτύπωμα. Ο έλεγχος δείχνει λοιπόν ότι το μυστικό κλειδώθηκε πρώτα και ότι τα ζάρια βγαίνουν από τους αριθμούς της καταγραφής. Δεν δείχνει ότι η καταγραφή έχει τον αριθμό της συσκευής σου, και δεν μπορεί να αποκλείσει έναν διακομιστή που θα διάλεγε ανάμεσα σε μετρητές αφού δει αυτόν τον αριθμό^[14].

Υπάρχουν και ζαριές που ο διακομιστής τις βγάζει χωρίς τη συσκευή κάποιου παίκτη, όπως στο παιχνίδι αλληλογραφίας: εκεί ο καθένας παίζει τη σειρά του όποτε τον βολεύει, και τη ζαριά τη βγάζει ο διακομιστής για όποιον έχει σειρά. Σε αυτές δίνει ο ίδιος και τον δεύτερο αριθμό^[14], άρα έχει και τους δύο πριν βγει η ζαριά. Η καταγραφή δείχνει ότι η ζαριά δεν άλλαξε αφότου γράφτηκε, όχι όμως ότι ο διακομιστής δεν την ήξερε από πριν ή δεν τη διάλεξε. Για εκείνες τις ζαριές έχουμε να σου δείξουμε μόνο τη μέτρηση, με τα όριά της.

Κι όταν διαλέγεις να παίξεις με τον υπολογιστή στη συσκευή σου, τα ζάρια και των δύο πλευρών βγαίνουν από μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών στην εφαρμογή, και ο υπολογιστής παίρνει τη ζαριά του αφού βγει. Αυτές τις ζαριές δεν τις βγάζει διακομιστής: δεν έχουν αποτύπωμα ούτε καταγραφή για να τις ελέγξεις, και δεν είναι μέσα στη μέτρηση. Αυτό είναι περιγραφή του κώδικα, όχι απόδειξη^[14].

Έλεγξε εσύ μια ζαριά

Ο έλεγχος μιας ζωντανής online παρτίδας που έπαιξες έχει τέσσερα βήματα.

1. Στην οθόνη του αποτελέσματος πάτα «Αποδεδειγμένα δίκαια ζάρια · Επαλήθευση». Ανοίγει μια λίστα με τις ζαριές της παρτίδας και τι έβγαλε για καθεμία ο έλεγχος του διακομιστή. Πάνω πάνω είναι το δημόσιο αναγνωριστικό της παρτίδας, που ξεκινά με mat_. Μια παρτίδα αλληλογραφίας δεν καταλήγει στην οθόνη του αποτελέσματος: μένει στη δική της, με ένα κουμπί για επανάληψη κι ένα για ανάλυση, αλλά χωρίς αυτόν τον σύνδεσμο^[14].
2. Η εφαρμογή δεν έχει κουμπί για να αντιγράψεις το αναγνωριστικό ούτε σύνδεσμο προς τη δημόσια σελίδα ελέγχου^[14]. Γράψε το λοιπόν στη σελίδα μας για τον έλεγχο των ζαριών, στο πεδίο «Δημόσιο αναγνωριστικό παρτίδας», και πάτα «Έλεγχος ζαριών»: ανοίγει η σελίδα ελέγχου της παρτίδας, api.boardgammon.com/audit/ και μετά το αναγνωριστικό^[17].
3. Η σελίδα ελέγχου είναι μόνο στα αγγλικά, σε όποια γλώσσα κι αν έχεις την εφαρμογή. Για κάθε ζαριά και των δύο παικτών δείχνει το αποτύπωμα, που εκεί λέγεται «commitment», το μυστικό που φανερώθηκε («server seed»), τον δεύτερο αριθμό («client entropy»), τον μετρητή («nonce») και τα ζάρια, και τα ξαναελέγχει κάθε φορά που την ανοίγεις^[14].
4. Στο κάτω μέρος της έχει ένα σύντομο πρόγραμμα σε Python, που δεν θέλει τίποτα πέρα από την ίδια την Python και είναι ήδη συμπληρωμένο με την πρώτη ζαριά της παρτίδας. Υπολογίζει το αποτύπωμα του μυστικού και το συγκρίνει με της σελίδας, ξανακάνει το ανακάτεμα και συγκρίνει τα ζάρια· αν κάτι δεν ταιριάζει, σταματά με σφάλμα. Με την ίδια συνταγή ελέγχεις όποια γραμμή θέλεις, αν βάλεις τους αριθμούς της^[14].

Μια ζαριά που περνά τον έλεγχο βγήκε από τους αριθμούς της καταγραφής της· ζάρια που δεν βγαίνουν από τους αριθμούς τους κόβονται^[14].

Κι αν έχασες απλώς από τα ζάρια;

Κάποιες φορές η εξήγηση είναι απλή: ο αντίπαλος έφερε καλύτερα ζάρια. Στην ίδια οθόνη του αποτελέσματος, σε ζωντανή online παρτίδα που έπαιξες, υπάρχει κουμπί που ξεκινά με «Δες την ανάλυση του ματς»· αν το ματς είχε γκάφες, γράφει και πόσες, και των δύο παικτών μαζί. Ανοίγει την ανάλυση του ματς. Όσο δουλεύει η ανάλυση του διακομιστή, εκεί βλέπεις μόνο ότι το ματς αναλύεται. Μόλις τελειώσει, εμφανίζονται μαζί η τύχη κάθε πλευράς, ένας αριθμός για τα Λευκά κι ένας για τα Μαύρα, και ένα PR (performance rating) για όλο το ματς, δηλαδή ένας βαθμός για τις κινήσεις και των δύο παικτών μαζί, όχι για το αποτέλεσμα. Οι αποφάσεις για τον κύβο διπλασιασμού δεν μετρούν στο PR· η ανάλυση τις δείχνει χωριστά. Την ανάλυση τη βλέπουν μόνο όσοι έπαιξαν. Το PR, γενικά, κρίνει αποφάσεις και όχι αποτελέσματα, γι’ αυτό η τύχη δεν το επηρεάζει^[18]. Τι ακριβώς μετρά, το εξηγεί η σελίδα μας για το PR στο τάβλι.

Λοιπόν, είναι στημένα;

Στο Boardgammon όχι, και αυτό το λέμε με βάση τον κώδικα, όχι κάποια καταγραφή: ο κώδικας που βγάζει τα ζάρια δεν διαλέγει, δεν αλλάζει και δεν ξαναβγάζει καμία ζαριά. Κάθε ζαριά υπολογίζεται μία φορά, από ένα μυστικό της κρυπτογραφικής πηγής τυχαιότητας του συστήματος, τον δεύτερο αριθμό και τρία στοιχεία της παρτίδας και της ζαριάς^[14]. Και τις ζαριές των online παρτίδων σου τις ξαναϋπολογίζεις εσύ.

Την επόμενη φορά που ο αντίπαλος θα φέρει εξάρες ακριβώς όταν τις ήθελε, θυμήσου τον Ζήνωνα και άνοιξε την ανάλυση του ματς: μόλις τελειώσει, θα δεις εκεί σε αριθμό την τύχη κάθε πλευράς. Κι αν θέλεις να δοκιμάσεις τον έλεγχο σε δική σου παρτίδα, το τάβλι online ανοίγει κατευθείαν στο πρόγραμμα περιήγησης.

Εκτός από την κατανόηση της τυχαιότητας των ζαριών, η ουσιαστική βελτίωση απαιτεί μεθοδικότητα: μάθετε πώς γίνεται το ασφαλές μάζεμα πουλιών στο τάβλι, ενώ αν σας ενδιαφέρουν τα κλασικά παιχνίδια, εξερευνήστε πώς αντιμετωπίζεται το ματ στο διάδρομο στο σκάκι.

Πηγές

1. Agathias Scholasticus. Epigram on the emperor Zeno's game of τάβλη. The Greek Anthology, Book IX, epigram 482, with an English translation by W. R. Paton, vol. III (Loeb Classical Library). London: William Heinemann; first printed 1915 (the archive.org scan is of the 1925 reprint). Greek text p. 268, translation p. 269; the volume's index dates Agathias to the 6th century AD and Zeno's reign to 474–491 AD.
2. Hurley, J. (1991, September 24). “Computer cheats, was - Information on gammontool.” Post to the newsgroup rec.games.backgammon, kept in the Backgammon Galore forum archive as “Does Gammontool cheat?”
3. Tesauro, G. (1997, February 13). “Re: TD-GAMMON with OS/2 WARP 4.” Post to the newsgroup rec.games.backgammon, kept in the Backgammon Galore forum archive as “Does TD-Gammon cheat?”
4. GNU Backgammon Manual V0.16, section 12.4.7, “I think the bot is cheating. It always gets good dice.”
5. Bar-Hillel, M., & Wagenaar, W. A. (1991). The perception of randomness. Advances in Applied Mathematics, 12(4), 428–454.
6. Gilovich, T., Vallone, R., & Tversky, A. (1985). The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences. Cognitive Psychology, 17(3), 295–314.
7. Miller, J. B., & Sanjurjo, A. (2018). Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers. Econometrica, 86(6), 2019–2047.
8. Kahneman, D., & Tversky, A. (1972). Subjective probability: A judgment of representativeness. Cognitive Psychology, 3(3), 430–454.
9. Baumeister, R. F., Bratslavsky, E., Finkenauer, C., & Vohs, K. D. (2001). Bad is stronger than good. Review of General Psychology, 5(4), 323–370.
10. Boardgammon. Our own exact calculations for two fair dice, made for this article on October 11, 2026: 36 equally likely outcomes, and the chance of each count and each run of doubles for a player who rolls 25 times.
11. Boardgammon. “Backgammon rules,” section 9, “Doubles.”
12. Boardgammon. Our count of every dice roll on record from every online backgammon game a person played in, from May 18 to October 10, 2026: 438,679 rolls (877,358 dice). Read from the server’s dice record on October 11, 2026. All 36 counts are printed in this article.
13. Turner, S. (1997, April 5). “Re: Randomness and FIBS dice (with 10 MILLION ROLLS!!).” Post to the newsgroup rec.games.backgammon, kept in the Backgammon Galore forum archive as “FIBS: Analysis of 10 million rolls.”
14. Boardgammon. The code that makes and checks the dice on our server and in our app, and the audit page it produces for each online game, read on October 11, 2026. The code is not public; every audit page prints the full recipe.
15. National Institute of Standards and Technology (2015, August). Secure Hash Standard (SHS). FIPS PUB 180-4.
16. Krawczyk, H., Bellare, M., & Canetti, R. (1997, February). HMAC: Keyed-hashing for message authentication. RFC 2104.
17. Boardgammon. “Provably fair dice.” Our page with the box that opens a game’s audit page.
18. Boardgammon. “Backgammon skill levels and PR.”
19. Boardgammon. The code of our app’s result screen and match-analysis sheet for an online game, read on October 11, 2026. The code is not public.

Βρήκες λάθος ή κάποια φράση που δεν στέκει; Γράψε μας