Online tavla zarı hileli mi? Kayıtlı 438.679 atışı saydık

Pulunuz kırık, üst üste gele atıyorsunuz; rakibe ise düşeş üstüne düşeş geliyor. Masada olsa gözünüz zarı atan ele giderdi. Elle yapılan zar hilesinin Türkçede bir adı bile var: zar tutmak. Türk Dil Kurumunun sözlüğü bu deyimi “istediği sayıyı getirmek için zarı, atmadan önce parmaklar arasında düzene sokmak” diye tanımlıyor^[1].

Çevrimiçi tavlada zarı tutacak bir el yok; zarı bir bilgisayar üretiyor. Soru da bu yüzden değişiyor: Zarı üreten bilgisayar zar tutabilir mi?

Bu şüphe yeni değil. 1991’de Jim Hurley, rec.games.backgammon haber grubunda Gammontool adlı programın hile yaptığını hep hissettiğini yazdı. Ama kaynak koduna erişebildiğini, kodda zarı atan tarafı kayıran hiçbir şey olmadığını da ekledi^[2]. 1997’de TD-Gammon’un yazarı Gerry Tesauro, insanların zarlar yüzünden TD-Gammon’dan da, çok oyun kazanacak kadar iyi olan hemen her programdan da şüphelendiğini anlattı^[3]. GNU Backgammon programının kılavuzunda ise bilgisayara hep iyi zar geldiğini düşünenlere ayrılmış bir bölüm var; bölüm, zar üretecinin varsayılan ayarlarda hile yapmadığını söylüyor^[4].

Biz de bir tavla uygulaması geliştiriyoruz, yani bu soruda tarafsız değiliz. Başka uygulamaların zarları için bir şey söyleyemeyiz; kendi zarlarımızı ise anlatabiliriz. Zarlarımızın nasıl üretildiğini kanıtlanabilir adil zar sayfamızda kısaca anlattık. Bu kez onları saydık; sayımın neyi gösterip neyi gösteremediğine de, bir zarı nasıl kendiniz denetleyeceğinize de aşağıda adım adım bakıyoruz.

Adil zar neden hileli gibi gelir?

Psikologlar, insanların rastlantıyı nasıl algıladığını uzun zamandır inceliyor. Bar-Hillel ile Wagenaar, 1991’de bu araştırmaları özetledikleri makalede şunu söylüyor: İnsanlar gerçekten rastgele dizilerde küme ve seri görür, olduğundan daha sık değişim ve daha kısa seriler bekler^[5].

Bunun bir örneği basketboldan. Gilovich, Vallone ve Tversky’nin 1985’te yayımlanan çalışmasında 100 basketbol meraklısına isabetli ve isabetsiz atışlardan oluşan altı dizi gösterildi; her diziyi “şansa bağlı”, “seri” ya da “dönüşümlü” atış diye sınıflandırmaları istendi. Yazı tura atarken art arda iki atışın farklı gelme olasılığı 0,5’tir. Tam bu oranda değişen diziye katılımcıların yalnızca %32’si şans dedi, %62’si onu seri saydı. Şansın en iyi örneği diye seçilen diziler ise çok daha sık değişiyordu: 0,7 ve 0,8 oranında^[6]. Gerçekten şansa bağlı dizi, katılımcıların çoğuna seri gibi göründü.

Bu çalışma basketbol atışlarıyla ilgiliydi, zarla değil. Makalenin asıl sonucu, yani basketbolcunun elinin aslında ısınmadığı, isabetlerin seri hâlinde gelmediği, 2018’de sorgulandı. Miller ile Sanjurjo, çalışmada kullanılan ölçünün yanlı olduğunu kanıtladı ve bu yanlılık düzeltilince uzun süredir kabul gören sonuçların tersine döndüğünü bildirdi^[7]. Biz 1985 çalışmasından yalnızca meraklıların dizileri nasıl sınıflandırdığını alıyoruz.

Kahneman ile Tversky de 1972’de, insanların şansı öngörülemez ama özünde adil bir şey gibi gördüğünü yazdı: Kısa bir yazı tura dizisinde bile yazıyla turanın aşağı yukarı eşit çıkmasını bekleriz^[8]. Yani şansın adil olduğunu söylemiyorlar; insanların şanstan ne beklediğini anlatıyorlar. Tavlada bunun karşılığı tanıdık: Rakibe art arda gelen iki çift, rastlantı değil de bir plan gibi görünür.

Bir de kötü anın ağırlığı var. Baumeister ve arkadaşlarının 2001’de yayımladığı bir psikoloji derlemesine göre kötü olaylar, aynı türden iyi olaylardan daha güçlü etki bırakır: gündelik olaylarda, yakın ilişkilerde, aldığımız geri bildirimde ve öğrenmede^[9]. Derleme tavlayla ya da zarla ilgili değil; İngilizce metinde ne “backgammon” ne de “dice” kelimesi geçiyor. Aktardığı bir çalışma ise tavla oynayan herkese tanıdık gelebilir: Spor karşılaşmalarına bahis oynayan katılımcılar, yaklaşık bir hafta sonra kaybettikleri maçları kazandıklarından daha uzun konuştu^[9]. O çalışmayı derlemenin anlattığı kadarıyla biliyoruz, kendisini okumadık.

Bir oyunda kaç kez çift gelir?

Birinci zar altı yüzden birini gösterir, ikincisi de; ikisi birlikte 36 sonuç verir. Bu sonuçların hepsinin olasılığı eşittir ve altısı çifttir. Yani çift ortalama altı atışta bir gelir (%16,67), düşeş gibi belli bir çift ise 36 atışta bir (%2,78). Zarın hafızası da yoktur: Üç kötü zardan sonra iyi bir zarın gelme olasılığı, başka herhangi bir andakinden yüksek değildir^[10]. Tavla kurallarında yazdığı gibi çift zar dört kez oynanır^[11].

Bir oyunda iki oyuncunun da 25’er kez zar attığını düşünelim; bu yalnızca bir örnek. Adil zarla oyunculardan biri için:

• ortalama dört kez çift gelir (tam hesapla 4,17);
• en az bir kez çift gelme olasılığı %98,95, yani yaklaşık %99;
• en az bir kez üst üste iki çift gelme olasılığı %44,78: neredeyse her iki oyundan birinde;
• en az bir kez üst üste üç çift gelme olasılığı %8,67: kabaca 12 oyunda bir;
• rakibin ondan en az iki çift fazla atma olasılığı %28,28, yaklaşık %28. Aynı olasılık öbür taraf için de geçerli^[10].

Bu olasılıklar bir simülasyondan değil, kesin hesaptan geliyor. 25 atışta çift gelen ve gelmeyen atışların dizilebileceği bütün biçimleri, her birini tam olasılığıyla tartarak tek tek topladık^[10].

Şimdi bir oyuna değil, 20 oyuna bakalım. Her birinde rakibiniz 25 kez zar atsın. Bu oyunların en az birinde rakibinize üst üste üç çift gelme olasılığı %83,68, yaklaşık %84^[10]. Art arda üç çift tek bir oyunda seyrek görülür; yirmi oyunda en az bir kez görülmesi ise neredeyse beklenen bir şeydir.

Kendi zarlarımızı saydık

Hesap, adil zarın ne yapacağını söyler. Bizim zarlarımızın ne yaptığını görmek için onları saydık. Saydığımız şey şu: Boardgammon’da bir kişinin oynadığı her çevrimiçi tavla oyununda, 18 Mayıs 2026’dan 10 Ekim 2026’nın sonuna kadar (UTC saatiyle) kayda geçmiş her atış. İki oyuncunun atışları da sayımda. Kayıtları 11 Ekim 2026’da okuduk. Toplam 438.679 atış, yani 877.358 zar; hepsi aynı, yayımlanmış yöntemle üretildi^[12].

Bu atışların 73.179’u çift geldi: %16,68. Adil zarda beklenen oran %16,67^[12].

Çiftleri tek tek ayırınca tablo o kadar dengeli değil. Adil zarda her çiftten ortalama 12.185,5, yani yaklaşık 12.186 tane beklenir. En çok düşeş (6-6) geldi: 12.447 kez, ortalamanın %2,15 üstünde. En az hepyek (1-1) geldi: 12.053 kez, ortalamanın %1,09 altında^[12]. Çiftler eşit sıklıkta gelmedi.

Tablonun tamamı aşağıda; isteyen, ardından gelen testi kendisi yapabilir. Satırlar birinci zarı, sütunlar ikinci zarı gösteriyor. En az gelen sonuç birinci zarı 3, ikincisi 4 olan atış (11.973), en çok gelen düşeş (12.447)^[12].

Tablo bir şey daha gösteriyor: En az gelen çift hepyek, ama 36 sonucun altısı daha da az geldi; birinci zarı 5, ikincisi 2 olan atış ise hepyek kadar geldi (12.053)^[12].

Bu 36 sayıya, bütün sonuçların eşit olasılıklı olduğu varsayımıyla ki-kare testi uyguladık: 35 serbestlik derecesinde 42,25, p = 0,19. Sade bir dille: Adil zar, en az bu kadar dengesiz bir tabloyu 100 sayımın yaklaşık 19’unda verir^[12]. Testi kendiniz yapmak isterseniz tablodaki her sayıdan 12.185,5’i çıkarın, farkın karesini 12.185,5’e bölün ve böyle bulduğunuz 36 sayıyı toplayın: 42,25 çıkar.

Düşeşin ortalamanın %2,1 üstünde çıkmasını nasıl okumalı? 36 sonuçtan biri mutlaka en çok gelen olacak. Bu büyüklükte bir sayımda adil zarla en çok gelen sonuç, aşağı yukarı dört sayımdan birinde ortalamanın en az bizim düşeşimiz kadar üstüne çıkar^[12].

Zarları tek tek, yüzlerine göre sayınca da benzer bir resim çıkıyor. 877.358 zarda birler %16,62, ikiler %16,71, üçler %16,67, dörtler %16,60, beşler %16,64, altılar %16,76 geldi; adil bir zarda her yüzün payı %16,67’dir. En sık altı, en seyrek dört geldi^[12].

Yüzlerin bu dağılımına ki-kare testi uygulayınca 5 serbestlik derecesinde 9,62 çıkıyor, p = 0,09: Adil zar en az bu kadar geniş bir dağılımı 100 sayımın yaklaşık 9’unda verir. Bu sık görülen bir şey değil, ama nadir de sayılmaz. Sayım ne altıya doğru bir eğilim olduğunu gösteriyor ne de böyle bir eğilimi dışlıyor^[12].

Altılara tek başına bakınca sonuç daha çarpıcı görünüyor. Sayımdan önce seçilmiş bir yüzün, yukarı ya da aşağı, altılar kadar sapması adil zarda 100 sayımın yaklaşık 2’sinde olur. Ama altıları sayımdan sonra, en çok saptıkları için seçtik. Adil zarda payından en çok sapan yüz, hangisi olursa olsun, 100 sayımın yaklaşık 11’inde en az bu kadar sapar^[12]. En uçtaki yüzü sonuca baktıktan sonra seçmek, onu olduğundan daha olağan dışı gösterir.

Böyle bir sayım ilk kez yapılmıyor. 1997’de, Cambridge’deki İstatistik Laboratuvarının adresiyle imza atan Stephen Turner, FIBS adlı internet tavla sunucusunun 10.593.121 atışını incelediğini yazdı. Başka birinin topladığı daha küçük bir örneklem, şansın vermesi gerekenden fazla çift göstermişti. Turner’ın sayımında çiftlerin payı %16,651 çıktı ve ki-kare testi bir yanlılık belirtisi göstermedi^[13]. Turner, analizinin akla gelebilecek her yanlılığı denetlemediğini de yazdı^[13].

Sayım neyi gösteremez?

Bir sayım tablosunda her sonucun kaç kez geldiği yazar; hangi zarın ne zaman ve kime geldiği yazmaz. Aynı atışları başka bir sırayla dizseniz ya da oyuncular arasında başka türlü paylaştırsanız tablo değişmez. Bu yüzden toplamlar, zarın genel olarak bir yana kayıp kaymadığını gösterebilir; tek bir atışın değiştirilmediğini ya da o ana göre seçilmediğini gösteremez. Çiftin ardından ne sıklıkla yine çift geldiğini de söyleyemez, çünkü içinde sıra yoktur^[10]. Sayım ayrıca yalnızca test ettiğimiz örüntüleri sınar. Bir de şu var: Sayımı biz yaptık, kendi kayıtlarımız üzerinde.

Tek tek atışlar için başka bir şey gerekiyor: her atışı, yapılmadan önce kilitlemek.

Zar, atılmadan önce nasıl kilitlenir?

Boardgammon’da çevrimiçi bir oyunda her zarı sunucu hesaplar; sizin uygulamanız yalnızca kendi sayısını ekler ve kendi attığınız zarları denetler. Sunucu her hamleyi de elindeki zarla, kurallara göre denetler. Kurcalanmış bir uygulama ne zar uydurabilir ne de kurala aykırı bir hamle oynayabilir^[14]. Bir atış dört adımda yapılır.

Gizli sayı ve parmak izi

Her atıştan önce sunucu, yalnızca o atış için yepyeni, rastgele bir gizli sayı çeker (32 bayt). Sayının kendisini söylemez, yalnızca parmak izini verir: gizli sayıdan SHA-256 adlı yöntemle çıkarılan bir özet^[14]. ABD Ulusal Standartlar ve Teknoloji Enstitüsünün (NIST) Güvenli Özet Standardı, tanımladığı ve SHA-256’nın da aralarında bulunduğu özet yöntemlerini güvenli sayar, çünkü belli bir parmak izini veren veriyi bulmak da, aynı parmak izini veren iki farklı veri bulmak da hesaplama açısından olanaksızdır^[15]. Yani parmak izinden geriye gidip gizli sayıyı bulmak ya da aynı parmak izini veren başka bir sayı bulmak, pratikte kimsenin yapabileceği bir iş değildir.

Gizli sayı her seferinde tek bir atış için, o atıştan hemen önce kilitlenir. Bir oyunun bütün zarları baştan belirlenmez^[14].

İkinci sayı

Canlı bir oyunda zarı siz attığınızda, cihazınızdaki uygulama kendi rastgele sayısını (16 bayt) üretir ve zarın açıklanması isteğiyle birlikte sunucuya gönderir. Sunucu bu sayı olmadan zarı açıklamaz^[14]. Gizli sayıyı zar açıklanana kadar siz de görmezsiniz; bu yüzden gönderdiğiniz sayıyla zarı yönlendiremezsiniz^[14].

Sunucu, hiçbir oyuncunun cihazının işin içinde olmadığı bir atışı kendisi yaptığında ikinci sayıyı da kendisi çeker^[14]. Yazışmalı oyunda böyle olur: Her oyuncu sırasını kendine uygun bir zamanda oynar ve sırası gelen oyuncunun zarını sunucu atar^[14].

Hesap

Zarı belirleyen hesap HMAC adlı yöntemle yapılır. HMAC, gizli bir anahtarla parmak izi çıkarmak için 1997’de RFC 2104 numarasıyla yayımlanmış bir yöntemdir^[16]. Burada anahtar sunucunun gizli sayısıdır; parmak izi çıkarılan ise oyunun kimliği, atışın kimliği, bir sayaç ve ikinci sayı^[14]. Sayaç başlatılan her atışta bir artar ve arada bir sayıyı atlayabilir; yani atışın oyundaki sırası değildir^[14].

Hesaba yalnızca bunlar girer. Konum, skor ya da oyuncularla ilgili hiçbir şey girmez; bu yüzden hesapta, geride ya da önde olduğunuz, para ödeyip ödemediğiniz için size yardım edecek ya da sizi cezalandıracak hiçbir şey yoktur^[14]. Zarın ayarlı olduğu, kaybedene zar verildiği, para ödeyenin kollandığı şüphesine kodun cevabı bu.

Hesabın sonucu, her yüze tam olarak altıda bir şans veren bir kuralla iki zara çevrilir; kural, denetim sayfasında açıkça yazar^[14].

Açıklama ve denetim

Sunucu gizli sayıyı zarla birlikte açıklar. Uygulama, sizin attığınız zarlarda ve yalnızca onlarda iki şeye bakar: Açıklanan gizli sayı, zardan önce aldığı parmak iziyle eşleşiyor mu? Sunucunun yanıtındaki sayılarla hesap yeniden yapıldığında aynı zar çıkıyor mu? Sonucu tutar ama size göstermez; bu denetim arka planda çalışır. Rakibinizin zarlarını cihazınızda denetlemez^[14].

Bir kural daha var: Açıklanmış bir zar oynanmadan sunucu yeni bir atış başlatmaz. Yani beğenmediğiniz bir zarın ardından yeniden zar atamazsınız^[14].

Kilit neyi gösterir, neyi gösteremez?

İkinci sayı cihazınızdan geldiğinde sunucu gizli sayısını, o sayı daha ortada yokken kilitlemiş olur; kilitlediği anda zarın ne geleceğini bilemez. Bunu, sunucunun adımları hangi sırayla attığına bakarak söylüyoruz; kayıt bunu kanıtlamaz^[14].

Uygulamanın denetimi de bunu kanıtlamaz. Uygulama bu denetimde kendi elindekilerden yalnızca ikisini kullanır: oyunun kimliğini ve zar kilitlenirken aldığı parmak izini. Atışın kimliğini, sayacı ve ikinci sayıyı sunucunun yanıtından alır; o ikinci sayıyı cihazınızın gönderdiği sayıyla karşılaştırmaz, sayaç da parmak iziyle birlikte gönderilmez. Bu yüzden denetim, gizli sayının önce kilitlendiğini ve zarın kayıttaki sayılardan çıktığını gösterir; kaydın cihazınızın sayısını taşıdığını göstermez, sunucunun o sayıyı gördükten sonra sayaçlar arasından seçim yapmadığını da gösteremez^[14].

İkinci sayıyı da sunucu verdiğinde, zar hesaplanmadan önce iki sayı da sunucunun elindedir. Kayıt o zaman zarın, yazıldıktan sonra değiştirilmediğini gösterir; sunucunun zarı önceden bilmediğini ya da seçmediğini gösterecek hiçbir şey içermez. Bu atışlar için sunabileceğimiz tek şey, sınırlarıyla birlikte sayımdır^[14].

Zarlarımızın hileli olmadığını söylerken dayandığımız şey bu yüzden kayıt değil, kodumuz. Sunucunun zar kodunda bir atışı seçen, değiştiren ya da yeniden çeken hiçbir şey yok. Her atış bir kez hesaplanır: sistemin kriptografik rastgele sayı kaynağından çekilen gizli sayıdan, ikinci sayıdan ve üç etiketten (oyunun kimliği, atışın kimliği, sayaç)^[14]. Bu kod herkese açık değil; hesabın tarifini ise her denetim sayfası eksiksiz verir. Kayıt, bunun sizin denetleyebileceğiniz kısmıdır.

Bir zar nasıl denetlenir?

Önce bir el online tavla oynayın. Canlı bir oyun olsun: Yazışmalı bir oyun bitince kendi ekranında kalır ve orada aşağıdaki zar bağlantısı yoktur^[14]. Oyun bitince:

1. Sonuç ekranında “Doğrulanabilir adil zar · Doğrula” bağlantısını açın. O oyunun atışlarını listeleyen bir ekran gelir: En üstte oyunun kimliği yazar (mat_… diye başlar), altında her atış bir kartta, sunucunun o atış için verdiği kararla birlikte durur^[14]. Her kartta parmak izi “kilit”, gizli sayı “tohum”, ikinci sayı da “istemci” adıyla, kısaltılarak yazar^[14].
2. Uygulamada kimliği kopyalayan bir düğme ya da bu listeden herkese açık denetim sayfasına giden bir bağlantı yok^[14]. Kimliği not edin, kanıtlanabilir adil zar sayfamızdaki “Bitmiş bir oyunu doğrulayın” kutusuna yazın ve “Zarları doğrula”ya basın. Sayfamız parmak izine “taahhüt”, gizli sayıya “tohum” diyor^[17].
3. Kutu sizi oyunun denetim sayfasına götürür: api.boardgammon.com/audit/ ve ardından oyunun kimliği^[18]. Bu sayfa, uygulamanız ya da sitemiz hangi dile ayarlı olursa olsun yalnızca İngilizcedir. Orada parmak izinin adı “commitment”, gizli sayınınki “server seed”, ikinci sayınınki “client entropy”, sayacınki “nonce”^[14]. Sayfa iki oyuncunun da her atışı için bunları ve gelen zarları listeler, her açılışta da yeniden denetler^[14].
4. Sayfanın sonundaki “Verify it yourself” bölümünde, Python’dan başka hiçbir şey gerektirmeyen kısa bir program var; oyunun ilk atışıyla doldurulmuş olarak gelir. Program, açıklanan gizli sayının parmak izini hesaplayıp sayfadakiyle karşılaştırır, sonra hesabı tekrarlayıp zarları karşılaştırır; ikisinden biri tutmazsa hata verip durur. Aynı tarif, o satırın sayıları yerine konarak sayfadaki her satırı denetler. Programın ardından aynı denetimin komut satırında çalışan bir sürümü de gelir^[14].

Denetimden geçen bir zar, kaydındaki sayılardan hesaplanmış demektir; kaydındaki sayılardan çıkmayan bir zar denetimden geçemez^[14].

Cihazınızda bilgisayara karşı oynamayı seçtiğinizde

Bu modda oyun, uygulamanın içinde, cihazınızda oynanır. İki tarafın zarları da uygulamadaki tek bir rastgele sayı üretecinden gelir; bilgisayarın zarı önce atılır, bilgisayar hamlesini ancak ondan sonra seçer. Bu zarları hiçbir sunucu üretmez: Ne parmak izleri ne de denetlenecek bir kayıtları vardır, sayımımıza da girmezler. Bunu kodda okuduğumuz gibi aktarıyoruz; kanıt olarak gösterebileceğimiz bir kayıt yok^[14].

Zar mı kaybettirdi, hamle mi?

Kaybedilen bir oyunun ardından sorulacak asıl soru belki de bu. Oynadığınız canlı bir çevrimiçi oyunun sonuç ekranında, adı “Maç analizini gör” diye başlayan bir düğme var. Düğmeye basınca açılan analiz, sunucu oyunu analiz edene kadar yalnızca analizin sürdüğünü gösterir. Analiz bitince iki şey birlikte görünür: o oyunda iki oyuncunun şansı (biri beyaz, biri siyah için birer sayı) ve o oyun için tek bir PR (Performance Rating)^[19]. Bu PR, iki oyuncunun o oyunda yaptığı hamlelere birlikte bakan bir nottur, yalnızca sizin hamlelerinizin notu değil; turnuva kurallarındaki katlama küpüyle ilgili kararlar ona girmez, ayrı gösterilir^[19]. PR genel olarak sonuca değil, kararlara not verdiği için şanstan etkilenmez^[20]. PR’ın ne ölçtüğünü tavlada beceri seviyeleri sayfamızda anlatıyoruz.

Rakibe art arda düşeş geldiği bir sonraki oyunda, oyun bitince iki yere bakın: zarların kaydına ve maçın analizine.

Zar matematiğini anlamanın ötesinde, tahtadaki temel aşamalarda ustalaşmak oyun gücünü artırır: tavlada pul toplama rehberimizle oyun sonunu güvene alabilir, masa oyunları dağarcığınızı zenginleştirmek için satrançta koridor matı taktiğini inceleyebilirsiniz.

Kaynaklar

1. Türk Dil Kurumu. Güncel Türkçe Sözlük, “zar tutmak” maddesi.
2. Hurley, J. (1991, September 24). “Computer cheats, was - Information on gammontool.” Post to the newsgroup rec.games.backgammon, kept in the Backgammon Galore forum archive as “Does Gammontool cheat?”
3. Tesauro, G. (1997, February 13). “Re: TD-GAMMON with OS/2 WARP 4.” Post to the newsgroup rec.games.backgammon, kept in the Backgammon Galore forum archive as “Does TD-Gammon cheat?”
4. GNU Backgammon Manual V0.16, section 12.4.7, “I think the bot is cheating. It always gets good dice.”
5. Bar-Hillel, M., & Wagenaar, W. A. (1991). The perception of randomness. Advances in Applied Mathematics, 12(4), 428–454.
6. Gilovich, T., Vallone, R., & Tversky, A. (1985). The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences. Cognitive Psychology, 17(3), 295–314.
7. Miller, J. B., & Sanjurjo, A. (2018). Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers. Econometrica, 86(6), 2019–2047.
8. Kahneman, D., & Tversky, A. (1972). Subjective probability: A judgment of representativeness. Cognitive Psychology, 3(3), 430–454.
9. Baumeister, R. F., Bratslavsky, E., Finkenauer, C., & Vohs, K. D. (2001). Bad is stronger than good. Review of General Psychology, 5(4), 323–370.
10. Boardgammon. Our own exact calculations for two fair dice, made for this article on October 11, 2026: 36 equally likely outcomes, and the chance of each count and each run of doubles for a player who rolls 25 times.
11. Boardgammon. “Backgammon rules,” section 9, “Doubles.”
12. Boardgammon. Our count of every dice roll on record from every online backgammon game a person played in, from May 18 to October 10, 2026: 438,679 rolls (877,358 dice). Read from the server’s dice record on October 11, 2026. All 36 counts are printed in this article.
13. Turner, S. (1997, April 5). “Re: Randomness and FIBS dice (with 10 MILLION ROLLS!!).” Post to the newsgroup rec.games.backgammon, kept in the Backgammon Galore forum archive as “FIBS: Analysis of 10 million rolls.”
14. Boardgammon. The code that makes and checks the dice on our server and in our app, and the audit page it produces for each online game, read on October 11, 2026. The code is not public; every audit page prints the full recipe.
15. National Institute of Standards and Technology (2015, August). Secure Hash Standard (SHS). FIPS PUB 180-4.
16. Krawczyk, H., Bellare, M., & Canetti, R. (1997, February). HMAC: Keyed-hashing for message authentication. RFC 2104.
17. Boardgammon. “Boardgammon’da Kanıtlanabilir Adil Zar.” Türkçe sayfamız.
18. Boardgammon. “Provably fair dice.” Our page with the box that opens a game’s audit page.
19. Boardgammon. The code of our app’s result screen and match-analysis sheet for an online game, read on October 11, 2026. The code is not public.
20. Boardgammon. “Backgammon skill levels and PR.”

Bir hata ya da kulağa tuhaf gelen bir ifade mi gördünüz? Bize yazın