آخر بازی در چکرز: چگونه اپوزیسیون را محاسبه کنیم و برتری مهره را به برد برسانیم

در هر رقابت جدی بازی چکرز، لحظه‌ای فرا می‌رسد که هیاهوی برخورد مهره‌ها در میانه میدان فروکش می‌کند. از بیست و چهار مهره ابتدایی بازی، پس از تبادل‌ها و پرش‌های اجباری متعدد، تنها چند شاه تاج‌دار و مهره‌های اندک باقی می‌مانند. بازیکنان کم‌تجربه این مرحله پایانی را نوعی تعقیب‌وگریز بی‌برنامه می‌پندارند و مهره‌های حریف را بی‌هدف روی صفحه دنبال می‌کنند به این امید که حریف اشتباهی فاحش مرتکب شود. اما در مسابقات رسمی و حرفه‌ای، آخر بازی هرگز به بخت و تصادف وابسته نیست، بلکه قلمرو هندسه قطعی و ریاضیات محض است.

برخلاف شطرنج که آخر بازی آن با شبکه‌های مات، پیاده‌های رونده و پات گره خورده است، آخر بازی در چکرز با خطوط مایل قطری و قانون آهنین پرش اجباری تعریف می‌شود. وقتی صفحه خلوت می‌شود، دیگر جایی برای پنهان شدن وجود ندارد. هر گام یا موقعیت شما را به سمت مسدود کردن کامل حریف پیش می‌برد یا کنترل صفحه را به رقیب واگذار می‌کند.

قطعیت ریاضی این بازی در سال ۲۰۰۷ میلادی به اثبات رسید؛ زمانی که یک گروه پژوهشی به رهبری دانشمند برجسته علوم رایانه، جاناتان شیفر، در نشریه Science ثابت کردند که بازی چکرز روی صفحه ۸ در ۸ در صورت بازی بدون نقص از سوی هر دو طرف، الزاماً به تساوی ختم می‌شود ^[1]. در مسیر این پژوهش بزرگ، گروه شیفر پایگاه داده‌ای با سی و نه تریلیون موقعیت آخر بازی تولید کردند که در آن تمامی وضعیت‌های ممکن با ده مهره یا کمتر روی صفحه حل شده بود. با این حال، انسان‌ها در بازی زنده هرگز بی‌نقص نیستند. شکست‌ها در آخر بازی دقیقاً از آنجا ناشی می‌شوند که بازیکنان متوجه نمی‌شوند نبض زمان و نوبت دست کیست یا چطور باید حریفی را که در گوشه‌ها پناه گرفته به دام انداخت.

چه در دورهمی‌ها بازی کنید و چه در رقابت‌های بین‌المللی Checkers Crown پای میز بنشینید، درک عمیق اصول آخر بازی نگرش شما را دگرگون می‌سازد. مطابق با قوانین چکرز انگلیسی، برتری یک شاه اضافه یک اتفاق تزئینی نیست، بلکه اهرمی برای ساده‌سازی گام‌به‌گام موقعیت به سوی بردی حتمی است.

اپوزیسیون چیست و چگونه نوبت و برتری را محاسبه کنیم؟

بنیادی‌ترین مفهوم در هر آخر بازی چکرز، مفهومی است که در متون سنتی از آن با عنوان «اپوزیسیون» یا «حق تقدم حرکت» (the move) یاد می‌شود. در وضعیتی که هر دو بازیکن تعداد مهره‌های برابری در اختیار دارند، بازیکنی که اپوزیسیون را در دست دارد، برنده بازی خواهد بود.

همان‌طور که جیمز لیز در سال ۱۸۹۲ میلادی مدون ساخت ^[2]، داشتن اپوزیسیون به این معناست که شما آهنگ و ریتم فضایی صفحه را در کنترل خود دارید. هر زمان که حریف گامی به سوی شما برمی‌دارد، حرکت پاسخ شما دیواری نامرئی برپا می‌کند. از آنجا که در چکرز تکان خوردن و زدن مهره کاملاً اجباری است، بازیکنی که فاقد اپوزیسیون باشد در نهایت دچار زوگزوانگ می‌شود و مجبور است یا به خانه‌ای ناامن قدم بگذارد یا مسیر اصلی را به حریف واگذار کند.

برای درک ساده اپوزیسیون، دو شاه تنها را در نظر بگیرید که در یک قطر اصلی روبروی یکدیگر ایستاده‌اند. شاهی که اپوزیسیون دارد به شکلی گام برمی‌دارد که در لحظه رویارویی مستقیم، این حریف است که مجبور می‌شود به خانه تحت کنترل شما بیاید یا از قطر خارج شود.

اما آیا برای فهمیدن اینکه چه کسی اپوزیسیون دارد باید ده‌ها حرکت را در ذهن محاسبه کرد؟ استادان بازی روشی هندسی را برای این محاسبه ابداع کرده‌اند.

در سال ۱۸۹۲ میلادی، جیمز لیز شیوه چهار ستون را برای صفحه ۸ در ۸ تشریح کرد ^[2]. سی و دو خانه تیره و فعال صفحه به صورت عمودی به چهار ستون مجزا تقسیم می‌شوند که در هر ستون هشت خانه قرار دارد:

۱. ابتدا تعداد مهره‌های بازیکنی که نوبت حرکت با اوست و روی خانه‌های با شماره فرد در این چهار ستون قرار دارند شمرده می‌شود. ۲. اگر مجموع این مهره‌ها روی خانه‌های فرد عددی زوج باشد، آن بازیکن اپوزیسیون را در اختیار دارد. ۳. اگر این مجموع عددی فرد باشد، اپوزیسیون متعلق به حریف اوست.

هر بار که یک مهره زده می‌شود، توازن اپوزیسیون ممکن است تغییر کند. تعویض یک مهره در برابر یک مهره، اگر از ستون‌های مخالف انجام شود، اپوزیسیون را به بازیکن دیگر منتقل می‌کند. به همین دلیل استادان بزرگ در انتهای میانه بازی دست به تعویض‌های غیرمنتظره می‌زنند: آن‌ها عمداً مهره‌ای را قربانی می‌کنند تا پس از دریافت مهره حریف، اپوزیسیون را در آغاز فاز شاه‌ها به چنگ آورند.

ما پیش‌تر در راهنمای جامع استراتژی چکرز نشان دادیم که تسلط بر مرکز صفحه چگونه میدان را کنترل می‌کند. در آخر بازی، تسلط بر قطرها همراه با اپوزیسیون، مانند گیره‌ای فولادی مهره‌های حریف را در تنگنا قرار می‌دهد.

موقعیت اول ویلیام پین در سال ۱۷۵۶ میلادی

اگر تنها یک وضعیت در تاریخ بازی چکرز وجود داشته باشد که هر بازیکن پیگیر باید آن را حفظ کند، «موقعیت اول» (First Position) اثر ویلیام پین است. این مطالعه درخشان که نخستین بار در سال ۱۷۵۶ میلادی در لندن و در کتاب An Introduction to the Game of Draughts منتشر شد ^[3]، شاهکار تحلیل‌های آخر بازی به شمار می‌رود.

در این چیدمان، دو شاه سفید در برابر یک شاه سیاه و یک مهره ساده سیاه صف‌آرایی می‌کنند. در موقعیت استاندارد، شاه‌های سفید در خانه‌های ۱۹ و ۲۳ مستقرند. سیاه با شاه خود در خانه ۲۸ سنگر گرفته و مهره معمولی او در خانه ۳ بدون حرکت منتظر مانده است.

در نگاه نخست، ممکن است این‌طور به نظر برسد که سیاه به راحتی به تساوی می‌رسد؛ زیرا شاه سیاه در آستانه پناهگاه گوشه دوبل (خانه‌های ۲۸ و ۳۲) قرار دارد و مهره ساده او در خانه ۳ بسیار دور از دسترس است. اما ویلیام پین در سال ۱۷۵۶ میلادی اثبات کرد که سفید با دقت ریاضی می‌تواند پیروزی قطعی را رقم بزند ^[3].

روش پیروزی بر مهار گام‌به‌گام شاه سیاه و بیرون راندن آن از گوشه استوار است:

۱. سفید با یک حرکت شاهکار مانور را آغاز می‌کند: ۲۳-۱۸! این حرکت بلافاصله راه گریز شاه سیاه به سوی مرکز صفحه را قطع می‌کند. ۲. سیاه راه گریزی جز فرورفتن در عمق گوشه دوبل ندارد: ۲۸-۳۲. ۳. سفید با حرکت ۱۸-۲۲ حلقه محاصره را تنگ‌تر می‌کند و بر قطر مسلط می‌شود. ۴. شاه سیاه می‌کوشد از گوشه بیرون بلغزد: ۳۲-۲۷. ۵. سفید حرکت قاطع دفاعی را انجام می‌دهد: ۲۲-۲۶!

با تصاحب خانه ۲۶، درهای خروج کاملاً بسته می‌شود. شاه سیاه نه به چپ می‌تواند برود و نه به جلو. دو شاه سفید با همکاری منظم شاه سیاه را از پناهگاهش بیرون می‌اندازند. به محض رانده شدن شاه سیاه، سفید مستقیم به سراغ مهره بی‌پناه در خانه ۳ می‌رود یا سیاه را در تنگنای زدن اجباری گرفتار می‌سازد.

موقعیت اول پین حقیقت بزرگی را آشکار می‌کند: برابری مهره یا سنگر گرفتن در گوشه نمی‌تواند بازیکنی را نجات دهد که حریفش بر اپوزیسیون و قطرها مسلط است.

دژ نفوذناپذیر گوشه دوبل در برابر تله مرگبار گوشه تکی

یکی از قوانین بنیادی آخر بازی چکرز این است که گوشه‌های صفحه ارزش برابری ندارند. روی صفحه دو گونه گوشه کاملاً متفاوت وجود دارد: گوشه دوبل و گوشه تکی.

گوشه دوبل از دو خانه تیره مجاور تشکیل شده است که در لبه صفحه کنار هم نشسته‌اند: خانه‌های ۱ و ۵ در یک سو، و خانه‌های ۲۸ و ۳۲ در سوی دیگر. در مقابل، گوشه تکی تنها شامل یک خانه منزوی در گوشه تیز صفحه است: خانه ۴ در بالا و خانه ۲۹ در پایین.

شناخت تفاوت میان این دو گوشه، مرز میان نجات از باخت حتمی و ریختن پیروزی به پای حریف است.

چرا گوشه دوبل دژی تسخیرناپذیر است؟

یکی از نکات شگفت‌انگیز برای مبتدیان این است که دو شاه لزوماً نمی‌توانند یک شاه تنها را شکست دهند. اگر شاه تنها بتواند به موقع خود را به گوشه دوبل برساند، بازی از نظر تئوری مساوی قطعی است.

همان‌طور که ویلیام پین در سال ۱۷۵۶ میلادی نشان داد ^[3]، یک شاه تنها در خانه‌های ۲۸ و ۳۲ می‌تواند تا ابد میان این دو خانه رفت‌وآمد کند. چون گوشه دوبل از دو خانه متصل به هم تشکیل شده، سیاه از خانه ۲۸ به ۳۲ می‌رود و در حرکت بعد از ۳۲ به ۲۸ بازمی‌گردد، بدون اینکه هرگز نیازی به خروج به فضای باز داشته باشد.

اگر دو شاه سفید بکوشند او را شکار کنند، با بن‌بستی هندسی مواجه می‌شوند. برای حمله به خانه ۳۲، شاه سفید باید وارد خانه ۲۷ یا ۲۸ شود. اما چون زدن مهره در مسابقات رسمی اجباری است ^[3]، هرگونه نزدیک شدن نسنجیده باعث می‌شود شاه سیاه از روی شاه سفید بپرد یا تعویض مهره‌ها رخ دهد. پس از تعویض، نبرد یک شاه در برابر یک شاه خواهد بود که تساوی پیش‌پاافتاده‌ای است.

در مقاله بررسی قوانین بحث‌برانگیز چکرز اشاره کردیم که بسیاری از مردم تصور می‌کنند دو شاه همیشه یک شاه را می‌برند. یک بازیکن باسابقه هرگاه احساس خطر کند، آخرین شاه خود را با سرعت به خانه‌های ۲۸ و ۳۲ می‌رساند تا تساوی را قطعی سازد.

تله مرگبار گوشه تکی

اگر گوشه دوبل یک پناهگاه امن باشد، گوشه تکی یک گورستان است.

مهره‌ای که در خانه ۴ یا ۲۹ گیر بیفتد، هیچ خانه مجاوری برای رفت‌وآمد ندارد. طبق تحلیل‌های ویلیام پین در سال ۱۷۵۶ میلادی ^[3]، یک شاه مستقر در خانه ۲۹ را می‌توان تنها با یک شاه متوقف و اسیر کرد.

اگر بازیکن مهاجم مسیر خروج قطری را مسدود سازد، سیاه دیگر هیچ حرکت قانونی نخواهد داشت و به دلیل نداشتن نوبت بازی، فوراً شکست می‌خورد. در هنگام دفاع، هرگز اجازه ندهید مهره‌های شما به گوشه تکی رانده شوند.

چگونه با سه شاه در برابر دو شاه برنده شویم؟

در شرایطی که دو شاه قادر به تسلیم کردن یک شاه در گوشه دوبل نیستند، سه شاه همیشه و بدون استثنا بر دو شاه مدافع غلبه می‌کنند.

در سال ۱۸۰۰ میلادی، جاشوا استرجز در کتاب معتبر خود Guide to the Game of Draughts ^[4] مبانی بازی آخر را تکمیل کرد. استرجز نشان داد که سه شاه مهاجم می‌توانند دو شاه مدافع را با یک استراتژی سه مرحله‌ای از پای درآورند:

۱. قطع ارتباط: مهاجم با دو شاه خود صفحه را در امتداد قطر اصلی به دو نیم تقسیم می‌کند تا مانع از همیاری شاه‌های مدافع شود. ۲. منزوی کردن یک شاه: یکی از دو شاه حریف به کناره صفحه رانده و تحرک آن به حداقل می‌رسد. ۳. تعویض اجباری: با مهار کامل مهره مدافع، مهاجم مهره‌ای را در ازای یک مهره فدا می‌کند.

در اینجا اصل ریاضی ساده‌سازی مهره‌ها که آرتور رایسمن در سال ۱۹۵۲ میلادی به آن پرداخت وارد عمل می‌شود ^[5]. وقتی شما سه شاه در برابر دو شاه دارید، برتری شما ۵۰ درصد است (نسبت ۳ به ۲). با یک تعویض ساده مهره، وضعیت به دو شاه در برابر یک شاه می‌رسد و برتری نسبی شما بلافاصله دو برابر شده و به ۱۰۰ درصد می‌رسد (نسبت ۲ به ۱).

با پاکسازی صفحه، شاه مدافع دیگر فرصت پناه گرفتن در گوشه دوبل را نخواهد داشت؛ زیرا مهاجم گلوگاه‌های ورودی را بسته است. هنگام تجربه بازی چکرز آنلاین، قانون رایسمن را به یاد داشته باشید: داشتن برتری عددی به معنای جست‌وجوی فرصت تعویض است.

ابزارهای تاکتیکی در آخر بازی: دو شاخه و انسداد

حتی در خلوت‌ترین صفحات آخر بازی، ضربات تاکتیکی کارساز هستند. دو ابزار کلیدی در دستان استادان همیشه آماده استفاده است: دو شاخه و انسداد.

دو شاخه («The Breeches»)

در واژه‌نامه تاریخی چکرز این تاکتیک با نام «شلوار» (the breeches) خوانده می‌شود و شبیه به چنگال اسب در شطرنج است. همان‌طور که جیمز لیز در سال ۱۸۹۲ میلادی تشریح کرده است ^[2]، این وضعیت هنگامی پدید می‌آید که یک شاه مقتدرانه وارد خانه‌ای خالی میان دو مهره حریف در قطرهای موازی می‌شود.

فرض کنید دو مهره سیاه در خانه‌های ۱۰ و ۱۲ ایستاده‌اند. اگر شاه سفید وارد خانه ۱۵ شود، دقیقاً میان این دو مهره قرار می‌گیرد. سفید هم‌زمان خانه ۱۰ در چپ و خانه ۱۲ در راست را تهدید می‌کند. چون سیاه در هر نوبت فقط یک مهره را جابه‌جا می‌کند، سفید مهرهٔ دوم را در نوبت بعد شکار خواهد کرد.

انسداد کامل (بلوکه کردن)

در شطرنج اگر بازیکنی حرکتی نداشته باشد بازی پات و مساوی می‌شود، اما در چکرز این وضعیت به معنای باخت قطعی آن بازیکن است. هر بازیکنی که نوبت حرکتش باشد و نتواند حرکتی طبق مقررات انجام دهد، فوراً شکست را می‌پذیرد.

مهره‌ای که در ستون‌های کناری گرفتار شود، تنها یک زاویه حرکت به جلو دارد. یک شاه رقیب می‌تواند به راحتی آن را به لبه صفحه بچسباند و متوقف کند، در حالی که بقیه مهره‌ها مشغول جاروب کردن بقیه صفحه هستند.

شاه‌های پرنده و صفحات بزرگ‌تر در دیگر گونه‌های چکرز

تاکنون تمرکز ما بر صفحه ۸ در ۸ در چکرز انگلیسی بود که در آن شاه‌ها تنها یک خانه به هر سو گام برمی‌دارند. اما میلیون‌ها بازیکن در جهان بر اساس قواعد محلی دیگری بازی می‌کنند.

در چکرز بین‌المللی که روی صفحه ۱۰ در ۱۰ با بیست مهره در هر سو برگزار می‌شود، شاه‌ها به اصطلاح «پرنده» هستند ^[2]. یک شاه می‌تواند مسافت‌های طولانی را در یک قطر باز بپیماید و از فاصله‌ای دور مهره‌های حریف را بزند. همین قانون در شاشکی روسی روی صفحه ۸ در ۸ نیز حاکم است.

حضور شاه‌های پرنده ساختار آخر بازی را تغییر می‌دهد:

• مثلث پتروف در شاشکی روسی: از آنجا که یک شاه پرنده تمام طول قطر را در تصرف دارد، برای به دام انداختن آن از ساختاری هندسی به نام مثلث پتروف استفاده می‌شود؛ ساختاری که در آن سه شاه سه قطر استراتژیک را پوشش می‌دهند تا شاه فراری را محاصره کنند.
• قطر بزرگ در صفحه ۱۰ در ۱۰: یک شاه پرنده در بزرگ‌ترین قطر بر تمام تحرکات حاکم است و رقابت بر سر خانه‌های انتهایی را به اوج می‌رساند.
• دامای ترکی: در دامای ترکی مهره‌ها مستقیم و افقی حرکت می‌کنند. شاه‌ها مانند رخ‌های شطرنج در سطرها و ستون‌ها حرکت می‌کنند و آخر بازی به مسابقه ساخت دیوارهای مانع تبدیل می‌شود.

برای آشنایی با این تفاوت‌ها، راهنمای ما دربارهٔ گونه‌های چکرز را مطالعه فرمایید.

چهار عادت ضروری برای تسلط بر آخر بازی چکرز

برای چیره شدن بر آخر بازی نیازی به از بر کردن صدها صفحه کتاب نیست. تمرین این چهار اصل ذهنی کفایت می‌کند:

۱. شمارش اپوزیسیون پیش از هر تعویض: هرگز پیش از محاسبه اپوزیسیون با روش چهار ستون جیمز لیز، دست به تعویض نزنید تا مطمئن شوید نبض صفحه با شما خواهد بود. ۲. فرار به سوی گوشه دوبل در دفاع: اگر مهره کم دارید، مرکز را رها کنید و با آخرین شاه خود به سوی خانه‌های ۲۸ و ۳۲ بشتابید. رفت‌وآمد در گوشه دوبل تنها امید شما برای فرار از باخت است. ۳. دوری جستن از گوشه تکی: هرگز مهره خود را ناآگاهانه به خانه ۴ یا ۲۹ هدایت نکنید. ماندن در گوشه تکی خطای نابخشودنی مبتدیان است. ۴. ساده‌سازی در صورت برتری: با سه شاه در برابر دو شاه، تعلل نکنید. یک مهره را به دام بیندازید و تعویض کنید. تقلیل بازی از ۳:۲ به ۲:۱ برتری ریاضی شما را مضاعف می‌سازد.

در چکرز، این آخر بازی است که عیار یک بازیکن واقعی را نمایان می‌کند. با به‌کارگیری منطق هندسی ویلیام پین و انضباط در کنترل اپوزیسیون، هر موقعیت برتری را با آرامش و اطمینان به پیروزی نهایی گره خواهید زد.

پرسش‌های متداول

برای مهار قطعی یک شاه حریف به چند شاه نیاز داریم؟

در چکرز انگلیسی، دو شاه برای شکار یک شاه در فضای باز کافی هستند، اما اگر مدافع به گوشه دوبل (خانه‌های ۱/۵ یا ۲۸/۳۲) پناه برده باشد، کار به تساوی می‌کشد. برای تسلیم قطعی یک شاه در هر گوشه‌ای از صفحه، دست‌کم سه شاه لازم است.

موقعیت اول ویلیام پین چیست؟

این موقعیت ماندگارترین تحلیل آخر بازی چکرز است که ویلیام پین در سال ۱۷۵۶ میلادی ثبت کرد و نشان می‌دهد چگونه دو شاه سفید در خانه‌های ۱۹ و ۲۳ با بهره‌گیری از اپوزیسیون بر شاه سیاه در ۲۸ و مهره سیاه در ۳ غلبه می‌کنند.

آیا با مسدود کردن تمام حرکات حریف می‌توان برنده شد؟

بله. بر خلاف شطرنج که بی‌حرکت ماندن به پات و تساوی می‌انجامد، در چکرز اگر بازیکنی در نوبت خود هیچ حرکت معتبری نداشته باشد، بلافاصله بازنده اعلام می‌شود.

اگر از هر طرف فقط یک شاه باقی بماند چه رخ می‌دهد؟

هنگامی که برای هر بازیکن تنها یک شاه باقی مانده باشد و امکان زدن اجباری فوری وجود نداشته باشد، بازی بیدرنگ مساوی اعلام می‌شود.

منابع

1. Schaeffer, J., Burch, N., Björnsson, Y., Kishimoto, A., Müller, M., Lake, R., Lu, P., & Sutphen, S. (2007). Checkers Is Solved. Science, 317(5844), 1518–1522.
2. Lees, J. (1892). Lees’ Guide to the Game of Draughts. E. Marlborough & Co., London.
3. Payne, W. (1756). An Introduction to the Game of Draughts. London.
4. Sturges, J. (1800). Guide to the Game of Draughts. London.
5. Reisman, A. (1952). Championship Checkers: The Simplified Guide to Winning Checkers. David McKay Company.
6. Boardgammon. “Checkers Crown: Play Online Checkers and Regional Draughts Variants.”
7. Boardgammon. “Checkers Rules: How to Play, Movement, and Captures.”
8. Boardgammon. “Play Checkers Online: Free Browser and Mobile Draughts.”
9. Boardgammon. “Checkers Variants: The Kinds of Draughts Played Around the World.”

غلطی دیدید یا جمله‌ای به گوشتان غریب آمد؟ به ما خبر بدهید