Η ιστορία της ντάμας: Πώς ένα μεσαιωνικό παιχνίδι κατέκτησε τη σκακιέρα και λύθηκε από την επιστήμη

Ανάμεσα στα κλασικά επιτραπέζια παιχνίδια στρατηγικής, η ντάμα συχνά υποτιμάται λανθασμένα. Όσοι δεν γνωρίζουν το βαθύ θεωρητικό της υπόβαθρο τείνουν να τη θεωρούν απλοϊκό παράγωγο του σκακιού, κατάλληλο κυρίως για την απασχόληση αρχαρίων ή παιδιών. Η ιστορική έρευνα όμως ανατρέπει πανηγυρικά αυτή την αντίληψη: Η ντάμα συνιστά μια αυτοτελή πνευματική τέχνη υψηλών απαιτήσεων, καρπό της γόνιμης συνάντησης της αραβικής μαθηματικής σκέψης με το ευρωπαϊκό ταμπλό κατά τον Μεσαίωνα.

Στις μέρες μας, ενώ χιλιάδες παίκτες αναμετρώνται καθημερινά σε παρτίδες ντάμας online μέσα από ψηφιακές οθόνες, το παιχνίδι κατέχει ένα σπουδαίο επιστημονικό ορόσημο στην ιστορία της πληροφορικής. Το 2007, ομάδα ερευνητών απέδειξε μαθηματικά ότι η κλασική ντάμα σε ταμπλό 8×8 έχει επιλυθεί ασθενώς: Εφόσον και οι δύο πλευρές παίζουν αλάνθαστα, η παρτίδα οδηγεί νομοτελειακά στην ισοπαλία^[1]. Για να κατανοήσουμε πώς δώδεκα απλά ξύλινα πιόνια έφτασαν σε έναν τόσο κολοσσιαίο υπολογιστικό θρίαμβο, οφείλουμε να ανατρέξουμε στην αφετηρία του μηχανισμού του άλματος: Το μεσαιωνικό αλκέρκε.

Το αλκέρκε: Η ανατολική μήτρα της σύλληψης με άλμα

Ο αδιαμφισβήτητος ιστορικός πρόγονος της ντάμας είναι το παιχνίδι που στον αραβικό κόσμο ονομαζόταν αλ-κιρκ (القرق) και στην ιβηρική χερσόνησο καταγράφηκε ως αλκέρκε (alquerque)^[2]. Παρότι ορισμένες εκλαϊκευμένες αφηγήσεις συνδέουν την ντάμα με το αιγυπτιακό σενέτ ή με κυκλικά πιόνια που βρέθηκαν στις ανασκαφές της σουμεριακής πόλης Ουρ, οι ιστορικοί των παιχνιδιών θέτουν σαφή όρια: Εκείνα τα πανάρχαια παιχνίδια ήταν γραμμικές κούρσες με ζάρια και αγνοούσαν παντελώς τον μηχανισμό του υπερπηδητικού άλματος για την αιχμαλωσία αντίπαλου κομματιού.

Αντιθέτως, το αλκέρκε εισήγαγε τον κανόνα που αναγνωρίζει αμέσως κάθε σημερινός παίκτης: Ένα πιόνι συλλαμβάνει το αντίπαλο κομμάτι πηδώντας από πάνω του σε ευθεία γραμμή προς ένα κενό σημείο ακριβώς από πίσω. Το πληρέστερο ιστορικό κείμενο που διασώζει τους κανόνες του είναι το μνημειώδες χειρόγραφο του βασιλιά Αλφόνσου Ι΄ της Καστίλης, Libro de acedrex, dados e tablas, που ολοκληρώθηκε στη Σεβίλλη το 1283^[2].

Στο βασιλικό χειρόγραφο του 1283, το παιχνίδι καταγράφεται ως αλκέρκε των δώδεκα (alquerque de doze)^[2]. Δεν παιζόταν σε τετράγωνα αλλά σε ένα γεωμετρικό πλέγμα 25 σημείων τομής, ενωμένων με ευθείες και διαγώνιες γραμμές^[2]. Κάθε παίκτης διέθετε 12 πιόνια, τοποθετημένα στις δύο αρχικές σειρές και σε δύο ακριανά σημεία της μεσαίας σειράς, αφήνοντας κενό μόνο το κεντρικό σημείο. Τα πιόνια κινούνταν κατά μήκος των γραμμών προς γειτονικά σημεία, και όταν συναντούσαν εχθρικό πιόνι με κενό σημείο πίσω του, το άλμα και η αφαίρεση του κομματιού ήταν υποχρεωτικά.

Το παιχνίδι είχε ήδη μνημονευθεί τον δέκατο αιώνα από τον λόγιο Αμπού αλ-Φαράτζ αλ-Ισφαχάνι στο έργο του Κιτάμπ αλ-Αγάνι. Ωστόσο, το πλέγμα 5×5 γραμμών υπέφερε από εμφανή στενότητα χώρου: Η συγκέντρωση είκοσι τεσσάρων πιονιών σε μόλις 25 σημεία οδηγούσε ταχύτατα σε ασφυκτικό μπλοκάρισμα. Για να απελευθερώσουν το παιχνίδι και να προσφέρουν τακτικό εύρος, οι παίκτες του Μεσαίωνα πήραν μια ευφυή απόφαση: Μετέφεραν τα πιόνια στη σκακιέρα.

Η μεταφορά στη σκακιέρα και η γέννηση της λέξης «ντάμα»

Κατά τον δωδέκατο αιώνα, στη νότια Γαλλία ή στη βόρεια Ισπανία, συντελέστηκε η ιστορική συγχώνευση από την οποία γεννήθηκε η σύγχρονη ντάμα^[3]. Η σκακιέρα, με τα 64 εναλλασσόμενα ανοιχτόχρωμα και σκούρα τετράγωνα, αποτελούσε οικείο αντικείμενο στα ευγενή σπίτια. Τοποθετώντας τα 12 πιόνια και το άλμα του αλκέρκε στα 32 σκούρα τετράγωνα ενός ταμπλό 8×8, οι άνθρωποι της εποχής δημιούργησαν ένα παιχνίδι πρωτόγνωρης ροής^[3].

Ο περιορισμός της κίνησης αποκλειστικά στα σκούρα διαγώνια τετράγωνα εξαφάνισε τη συμφόρηση του αλκέρκε. Τα πιόνια απέκτησαν ανοιχτούς διαδρόμους ελιγμών, ενώ η απέναντι γραμμή του αντιπάλου μετατράπηκε σε φυσικό στόχο αναβάθμισης.

Εκείνη την περίοδο διαμορφώθηκε και η ονοματολογία. Στα παλαιά γαλλικά, το πιόνι που έφτανε στην τελευταία γραμμή ονομάστηκε αρχικά fierge, όρος που προήλθε από την αραβική λέξη φιρζάν (ο βεζίρης ή σύμβουλος στο ανατολικό σκάκι). Όταν το κομμάτι αυτό εξελίχθηκε στην ευρωπαϊκή σκακιστική παράδοση σε βασίλισσα ή κυρία (Dame), ο τίτλος πέρασε στο προαχθέν πιόνι και τελικά σε ολόκληρο το παιχνίδι: jeu de dames στα γαλλικά, damas στα ισπανικά, Dame στα γερμανικά και ντάμα στα ελληνικά. Στη Βρετανία επικράτησε ο όρος draughts, που παρέπεμπε στο σύρσιμο των ξύλινων πεσσών, ενώ στη Βόρεια Αμερική υιοθετήθηκε η ονομασία checkers λόγω του καρό μοτίβου των 64 τετραγώνων.

Το παραπάνω διάγραμμα αποτυπώνει αυτή τη βασική μηχανική πράξη: Το λευκό πιόνι εκτελεί διαγώνιο άλμα πάνω από το γειτονικό μαύρο πιόνι και προσγειώνεται στο αμέσως επόμενο κενό τετράγωνο, απομακρύνοντας το αιχμαλωτισμένο κομμάτι. Αυτή η δυναμική αποτελεί τη βάση για τους κανόνες της αγγλικής ντάμας.

Η καθιέρωση του υποχρεωτικού χτυπήματος και τα πρώτα έντυπα συγγράμματα

Στους πρώτους αιώνες της εξέλιξής της, η ντάμα παιζόταν με δύο διαφορετικές προσεγγίσεις: Με προαιρετικό και με υποχρεωτικό πάρσιμο. Όταν η σύλληψη ήταν προαιρετική, ο παίκτης μπορούσε να αποφύγει την αιχμαλωσία αν προτιμούσε άλλη κίνηση, γεγονός που οδηγούσε συχνά σε παθητικές αναμονές.

Τον δέκατο έκτο αιώνα παγιώθηκε στην Ευρώπη η αρχή του υποχρεωτικού χτυπήματος. Εάν ένας παίκτης παρέλειπε μια διαθέσιμη σύλληψη, ο αντίπαλος είχε το δικαίωμα να εφαρμόσει τον κανόνα του φυσήματος (huffing), αφαιρώντας το απείθαρχο πιόνι από το ταμπλό ως ποινή πριν παίξει τη δική του κίνηση. Η υποχρεωτικότητα της σύλληψης μετέτρεψε την ντάμα σε αυστηρή επιστήμη ακριβείας. Πλέον, ένας έμπειρος παίκτης μπορούσε να θυσιάσει σκόπιμα ένα ή δύο πιόνια για να εξαναγκάσει τον αντίπαλο σε διαδοχικά άλματα και κατόπιν να σαρώσει τρία ή τέσσερα κομμάτια με αποφασιστικό αντικτύπημα.

Η θεωρία του παιχνιδιού καταγράφηκε γρήγορα σε βιβλία. Το 1547, ο συγγραφέας Αντόνιο ντε Τορκεμάδα εξέδωσε στη Βαλένθια το έργο El ingenio, ó juego de marro, de punta, ó damas, το οποίο αναγνωρίζεται ως το αρχαιότερο έντυπο βιβλίο για την ντάμα στον κόσμο^[4]. Δύο αιώνες αργότερα, το 1756, ο δάσκαλος μαθηματικών Ουίλιαμ Πέιν δημοσίευσε στο Λονδίνο το κλασικό σύγγραμμα An Introduction to the Game of Draughts^[5].

Το βιβλίο του Πέιν του 1756 έμεινε στην ιστορία και για την περίφημη αφιέρωση που συνέταξε ο διακεκριμένος λόγιος Δρ Σάμιουελ Τζόνσον^[5]. Ο Τζόνσον υπερασπίστηκε την πνευματική αξία της ντάμας, τονίζοντας ότι η προνοητικότητα, η προσοχή και ο ακριβής υπολογισμός που απαιτούνται στις μεγάλες υποθέσεις της ζωής εκδηλώνονται εξίσου καθαρά πάνω στο ταμπλό της ντάμας. Το σύγγραμμα του Πέιν του 1756 θεμελίωσε τους κανόνες της κλασικής αγγλικής ντάμας για τη νεότερη εποχή.

Οι μεγάλες διεθνείς παραλλαγές: Γεωμετρία και κανονισμοί

Μια ματιά στον οδηγό με τις παραλλαγές της ντάμας στον ιστότοπό μας αναδεικνύει τον πλούτο των τοπικών παραδόσεων. Οι ουσιαστικές διαφορές μεταξύ των συστημάτων επικεντρώνονται σε τρεις βασικούς άξονες:

1. Κατεύθυνση σύλληψης των απλών πιονιών: Στην αγγλική ντάμα, το απλό πιόνι συλλαμβάνει μόνο προς τα εμπρός. Στη ρωσική, τη βραζιλιάνικη και τη διεθνή ντάμα, το πιόνι κινείται εμπρός αλλά έχει το δικαίωμα να αιχμαλωτίζει με άλμα τόσο προς τα εμπρός όσο και προς τα πίσω^[6].
2. Ακτίνα δράσης της προαχθείσας ντάμας: Στην αγγλική ντάμα, η ντάμα κινείται και συλλαμβάνει ένα τετράγωνο τη φορά. Στη ρωσική, την ισπανική και τη διεθνή ντάμα, μετατρέπεται σε «ιπτάμενη ντάμα» που διασχίζει ολόκληρη την ανοιχτή διαγώνιο χωρίς περιορισμό απόστασης.
3. Ο κανόνας της πλειοψηφίας: Στη διεθνή ντάμα, όταν υπάρχουν περισσότερες από μία επιλογές σύλληψης, ο παίκτης υποχρεούται να επιλέξει τη διαδρομή που αιχμαλωτίζει τον μεγαλύτερο αριθμό εχθρικών κομματιών.

Το παραπάνω γράφημα παρουσιάζει τον αρχικό αριθμό πιονιών: Το αλκέρκε, η αγγλική και η ρωσική ντάμα παίζονται με 12 πιόνια ανά πλευρά σε ταμπλό 8×8, η τουρκική ντάμα περιλαμβάνει 16 πιόνια ανά παίκτη, ενώ η διεθνής ντάμα παρατάσσει 20 πιόνια σε μεγάλο ταμπλό 100 τετραγώνων^[3].

Αγγλική ντάμα (Checkers)

Διεξάγεται σε ταμπλό 8×8 με 12 πιόνια ανά παίκτη. Τα πιόνια συλλαμβάνουν μόνο προς τα εμπρός και οι ντάμες κινούνται βήμα προς βήμα. Απαιτεί υπολογισμό υψηλής πειθαρχίας, καθώς η παραμικρή απώλεια χρόνου ή λάθος στην αντιπαράθεση στοιχίζει την παρτίδα.

Διεθνής ντάμα 100 τετραγώνων

Αναπτύχθηκε στο Παρίσι γύρω στο 1723 σε διευρυμένο ταμπλό 10×10 με 100 τετράγωνα και 20 πιόνια για κάθε παίκτη^[3]. Αν και τότε αποκλήθηκε «πολωνική ντάμα» λόγω συρμού, γεννήθηκε στο Παρίσι του 1723^[3]. Η ευρυχωρία του ταμπλό σε συνδυασμό με την ιπτάμενη ντάμα επιτρέπει εντυπωσιακούς συνδυασμούς.

Ρωσική ντάμα

Παίζεται σε ταμπλό 8×8 με 12 πιόνια, αλλά ξεχωρίζει για την ταχύτητα και την επιθετικότητά της. Τα πιόνια χτυπούν προς τα πίσω, η ντάμα διασχίζει τις διαγωνίους, και η αναβάθμιση συμβαίνει εν κινήσει: Αν ένα πιόνι αγγίξει την τελευταία γραμμή κατά τη διάρκεια διαδοχικών αλμάτων, στέφεται αμέσως ντάμα και συνεχίζει τα άλματα στον ίδιο γύρο.

Τουρκική ντάμα

Η τουρκική ντάμα απορρίπτει πλήρως τις διαγωνίους και παίζεται και στα 64 τετράγωνα του ταμπλό 8×8 χωρίς διάκριση χρώματος. Κάθε παίκτης παρατάσσει 16 πιόνια στη δεύτερη και τρίτη γραμμή^[6]. Τα πιόνια κινούνται και συλλαμβάνουν ορθογώνια — εμπρός και πλάγια — ενώ η ντάμα κινείται ελεύθερα σαν πύργος στο σκάκι σε ανοιχτές γραμμές.

Η ντάμα στον ελληνικό και μεσογειακό χώρο

Στην Ελλάδα, η ντάμα υπήρξε επί δεκαετίες αναπόσπαστο στοιχείο της κοινωνικής ζωής των καφενείων, συνοδεύοντας το τάבλι και το σκάκι σε κάθε γειτονιά. Πολλοί παίκτες γαλουχήθηκαν με τη μεσογειακή παράδοση, όπου η αμεσότητα των χτυπημάτων και η γρήγορη σκέψη είχαν πρωταρχική σημασία.

Στα παραθαλάσσια καφενεία και στις πλατείες των νησιών, η ντάμα με ξύλινα πιόνια αποτελεί συχνά την πρώτη επαφή των νεότερων με τους κανόνες της τακτικής υπό την καθοδήγηση των παλαιότερων, συντηρώντας μια διαχρονική λαϊκή συνήθεια.

Σήμερα, η διάδοση των διεθνών κανονισμών μέσα από ψηφιακές πλατφόρμες έχει φέρει το ελληνικό κοινό σε στενότερη επαφή με τα επίσημα τουρνουά, διατηρώντας ωστόσο ανέπαφη τη λαϊκή αγάπη για το παιχνίδι.

Τζόναθαν Σέφερ και Chinook: Η υπολογιστική λύση του 2007

Επί αιώνες οι θεωρητικοί αναρωτιόνταν αν ο παίκτης που κάνει την πρώτη κίνηση κατέχει αναγκαστικό πλεονέκτημα νίκης. Σε αντίθεση με το τάβλι όπου υπεισέρχεται ο παράγοντας της τύχης — όπως αναλύουμε στην έρευνά μας για τα στημένα ζάρια στο online τάβλι — η ντάμα είναι παιχνίδι πλήρους πληροφόρησης. Δεν υπάρχουν κρυφά φύλλα ούτε ζαριές· κάθε θέση κουβαλά μια αντικειμενική μαθηματική τιμή.

Στα τέλη του εικοστού αιώνα, ο καθηγητής πληροφορικής Τζόναθαν Σέφερ από το Πανεπιστήμιο της Αλμπέρτα στον Καναδά ξεκίνησε ένα τιτάνιο ερευνητικό εγχείρημα για την πλήρη υπολογιστική επίλυση της αγγλικής ντάμας 8×8^[1]. Το πρόγραμμά του, με το όνομα Chinook, συνδύασε ευφυείς αλγορίθμους αναζήτησης με βάσεις δεδομένων φινάλε που υπολογίστηκαν αναδρομικά από άδεια ταμπλό προς τα πίσω.

Για να δοκιμάσει την ισχύ του αλγορίθμου, ο Σέφερ αντιπαρέθεσε το πρόγραμμα στον κορυφαίο παίκτη όλων των εποχών: Τον Δρα Μάριον Τίνσλεϊ (1927–1995), καθηγητή μαθηματικών από τη Φλόριντα, ο οποίος υπήρξε παγκόσμιος πρωταθλητής από το 1955 έως το 1958 και από το 1970 έως το 1992^[1]. Το αγωνιστικό ρεκόρ του Τίνσλεϊ άγγιζε τα όρια του μύθου: Σε 45 χρόνια επίσημης καριέρας, ηττήθηκε σε μόλις 9 μεμονωμένες παρτίδες^[1].

Στην πρώτη τους αναμέτρηση για το παγκόσμιο πρωτάθλημα το 1992, ο Τίνσλεϊ νίκησε το Chinook με τέσσερις νίκες έναντι δύο, με τριάντα τρεις ισοπαλίες. Στη ρεβάνς του 1994, μετά από έξι συνεχόμενες ισοπαλίες, ο Τίνσλεϊ αναγκάστηκε να αποσυρθεί για λόγους υγείας και απεβίωσε λίγο αργότερα από καρκίνο^[1]. Μετά τη συνάντηση του 1994, το Chinook ανακηρύχθηκε παγκόσμιος πρωταθλητής ανθρώπου-μηχανής.

Ωστόσο, ο Σέφερ δεν αρκέστηκε στην επικράτηση απέναντι στον άνθρωπο, αλλά αναζήτησε την απόλυτη μαθηματική απόδειξη. Ο συνολικός χώρος καταστάσεων για την ντάμα 8×8 περιλαμβάνει περίπου 5 × 10^20 πιθανές θέσεις — πεντακόσια πεντάκις εκατομμύρια διαμορφώσεις^[1]. Η ομάδα του υπολόγισε πλήρεις βάσεις για όλες τις θέσεις με δέκα ή λιγότερα πιόνια στο ταμπλό.

Το 2007, έπειτα από 18 χρόνια κατανεμημένων υπολογισμών σε εκατοντάδες επεξεργαστές, ο Σέφερ και οι συνεργάτες του δημοσίευσαν τα ευρήματά τους στο περιοδικό Science σε άρθρο με τίτλο «Checkers Is Solved»^[1]. Το επιστημονικό συμπέρασμα ήταν κατηγορηματικό: Η ντάμα 8×8 έχει επιλυθεί ασθενώς· αν και οι δύο πλευρές επιλέγουν σε κάθε κίνηση τη μαθηματικά βέλτιστη απάντηση, η παρτίδα ολοκληρώνεται αναπόφευκτα με ισοπαλία^[1].

Γιατί ένα λυμένο παιχνίδι διατηρεί τη γοητεία του

Όταν το Science ανακοίνωσε την επίλυση της ντάμας, ορισμένοι βιαστικοί σχολιαστές υποστήριξαν ότι το παιχνίδι ξόφλησε. Στην πραγματικότητα, η επιστημονική απόδειξη απλώς επικύρωσε αυτό που οι παλιοί μάστορες γνώριζαν από τον δέκατο ένατο αιώνα: Ότι η άψογη αντιπαράθεση δύο ισάξιων αντιπάλων ισορροπεί φυσιολογικά.

Επιπλέον, το παιχνίδι επιλύθηκε ασθενώς και όχι ισχυρά. Μια ασθενής λύση αποδεικνύει το αποτέλεσμα από την αρχική θέση, αλλά κανένας ανθρώπινος εγκέφαλος δεν μπορεί να απομνημονεύσει 5 × 10^20 διακλαδώσεις στο μυαλό του^[1]. Πάνω στο πραγματικό ξύλινο ταμπλό, ένα ανεπαίσθητο λάθος στο τέμπο μετατρέπει στη στιγμή τη θεωρητική ισοπαλία σε άμεση ήττα.

Όπως οι σκακιστές μελετούν τακτικά μοτίβα για να αποφύγουν παγίδες όπως το ματ στο διάδρομο στο σκάκι, ή οι παίκτες του τάβλι παρακολουθούν τον δείκτη λαθών PR, έτσι και οι διοργανωτές τουρνουά ντάμας καθιέρωσαν κληρώσεις ανοιγμάτων τριών κινήσεων για να σπάσουν τις προπαρασκευασμένες βαριάντες. Είτε πρόκειται για την αγγλική, είτε για τη ρωσική, είτε για τη διεθνή ντάμα που γεννήθηκε στο Παρίσι το 1723, το παιχνίδι που ξεκίνησε από το αλκέρκε του 1283 συνεχίζει να συναρπάζει την ανθρώπινη σκέψη.

Συχνές ερωτήσεις

Είναι η ντάμα παλαιότερη από το σκάκι;

Η ντάμα πάνω σε σκακιέρα με διαγώνια άλματα εμφανίστηκε τον δωδέκατο αιώνα και επομένως είναι μεταγενέστερη του σκακιού, το οποίο είχε ήδη αποκρυσταλλωθεί στην Ινδία τον έκτο αιώνα (τσατουράνγκα) και στην Περσία τον έβδομο αιώνα (σατράντζ). Ωστόσο, ο άμεσος μηχανικός πρόγονος της ντάμας, το αλκέρκε, ανάγεται σε πανάρχαιες εποχές και συνυπήρχε με τα πρώτα βήματα του σκακιού στην Ανατολή.

Ποια είναι η κύρια διαφορά μεταξύ αγγλικής και τουρκικής ντάμας;

Η αγγλική ντάμα παίζεται διαγώνια μόνο στα 32 σκούρα τετράγωνα του ταμπλό και τα πιόνια κινούνται κατά ένα βήμα. Η τουρκική ντάμα χρησιμοποιεί και τα 64 τετράγωνα του ταμπλό, τα πιόνια κινούνται και συλλαμβάνουν ορθογώνια (εμπρός και πλάγια), ενώ η προαχθείσα ντάμα κινείται ελεύθερα σαν πύργος κατά μήκος ανοιχτών γραμμών.

Έχει λυθεί υπολογιστικά η διεθνής ντάμα των 100 τετραγώνων;

Όχι. Το 2007 η ομάδα του Τζόναθαν Σέφερ έλυσε αποκλειστικά την αγγλική ντάμα στο ταμπλό 8×8^[1]. Το ταμπλό 100 τετραγώνων της διεθνούς ντάμας διαθέτει ασύλληπτα μεγαλύτερο χώρο καταστάσεων, ο οποίος υπερβαίνει κατά πολύ τις δυνατότητες των σημερινών υπολογιστών.

Με ποια παραλλαγή είναι προτιμότερο να ξεκινήσει ένας αρχάριος;

Η αγγλική ντάμα 8×8 αποτελεί το ιδανικό σημείο εκκίνησης χάρη στους ξεκάθαρους κανόνες κίνησης και τη μονοδιάστατη εμβέλεια των πιονιών. Η κατανόηση της αντιπαράθεσης και του ελέγχου των κρίσιμων τετραγώνων σε αυτό το ταμπλό δημιουργεί τις σωστές βάσεις πριν από τη μετάβαση στη διεθνή ή την τουρκική ντάμα.

Πηγές

1. Schaeffer, J., Burch, N., Björnsson, Y., Kishimoto, A., Müller, M., Lake, R., Lu, P., & Sutphen, S. (2007). Checkers Is Solved. Science, 317(5844), 1518–1522.
2. Alfonso X of Castile. (1283). Libro de acedrex, dados e tablas (Libro de los juegos). Seville.
3. Murray, H. J. R. (1952). A History of Board-Games Other Than Chess. Oxford University Press.
4. Torquemada, A. de. (1547). El ingenio, ó juego de marro, de punta, ó damas. Valencia.
5. Payne, W. (1756). An Introduction to the Game of Draughts. London.
6. Boardgammon. “Checkers Rules: How to Play, Movement, and Captures.”
7. Boardgammon. “Checkers Crown: Play Online Checkers and Regional Draughts Variants.”

Βρήκες λάθος ή κάποια φράση που δεν στέκει; Γράψε μας