ההיסטוריה של משחק הדמקה: כיצד כבש המשחק את לוח השחמט ונפתר במחשב

בקרב משחקי המחשבה הקלאסיים, הדמקה סובלת לא פעם מיחס בלתי מוצדק של פשטנות. שחקנים שאינם מכירים את העומק התאורטי של המשחק נוטים לראות בו גרסה מופשטת של שחמט, המיועדת בעיקר לילדים או לשעות פנאי קלות. המציאות ההיסטורית חושפת תמונה שונה לחלוטין: הדמקה היא אמנות אסטרטגית עצמאית ועמוקה, שנולדה מתוך מפגש מפרה בין המתמטיקה של העולם הערבי לבין לוח המשחק האירופי בימי הביניים.

כיום, כאשר רבבות מתמודדים משחקים דמקה אונליין על גבי מסכים דיגיטליים, המשחק מחזיק בהישג מדעי נדיר בתולדות מדעי המחשב. בשנת 2007 הוכיחה קבוצת חוקרים כי הדמקה הקלאסית על לוח של 64 משבצות נפתרה באופן חלש: כאשר שני הצדדים משחקים בצורה מושלמת, ההתמודדות מסתיימת בהכרח בתיקו^[1]. כדי להבין כיצד הובילו תריסר אבני עץ פשוטות להישג חישובי כה אדיר, עלינו לחזור אל שורשי הלכידה בדילוג במשחק העתיק: אלקרק.

משחק אלקרק: המקור המזרחי של הדילוג

האב הקדמון הבלתי מעורער של הדמקה הוא המשחק המזרחי שנקרא בערבית אל־קירק (القرق), וקיבל בחצי האי האיברי את השם אלקרק (alquerque)^[2]. למרות ניסיונות לחבר את הדמקה למשחק הסנת המצרי או ללוחות שנחשפו בעיר השומרית אור, היסטוריונים של המשחקים מציבים גבול ברור: אותם משחקים עתיקים היו משחקי מרוץ ליניאריים שהתבססו על הטלת קוביות, ולא הכירו כלל את מנגנון הלכידה באמצעות דילוג מעל אבני היריב.

לעומת זאת, אלקרק הציג לעולם את הכלל היסודי שכל חובב דמקה מזהה מיד: אבן לוכדת את אבן היריב על ידי דילוג מעליה בקו ישר אל נקודה פנויה שנמצאת מיד מאחוריה. המקור ההיסטורי המקיף ביותר שמתעד משחק זה הוא כתב היד המלכותי של אלפונסו העשירי, מלך קסטיליה, Libro de acedrex, dados e tablas, שהושלם בעיר סביליה בשנת 1283^[2].

בכתב היד משנת 1283 מתועד המשחק בשם אלקרק השנים־עשר (alquerque de doze)^[2]. הוא לא שוחק על גבי משבצות של לוח, אלא על רשת גיאומטרית של 25 נקודות הצטלבות המחוברות בקווים ישרים ואלכסוניים^[2]. לכל משתתף היו 12 אבנים, שהוצבו בתחילת המשחק בשתי השורות הראשונות ובשתי נקודות בשורה האמצעית, כאשר רק הנקודה המרכזית נותרה פנויה. האבנים נעו לאורך הקווים לנקודות סמוכות, ובכל פעם שאבן יריב עמדה בנתיב עם נקודה ריקה מאחוריה, היה חובה לדלג מעליה ולהסירה מן הלוח.

המשחק הוזכר כבר במאה העשירית על ידי המלומד אבו אל־פרג׳ אל־אספהאני בספרו הנודע כתאב אל־אע׳אני. עם זאת, רשת הקווים של 5×5 סבלה מצפיפות יתר: ריכוז של עשרים וארבע אבנים על גבי 25 נקודות בלבד גרם לכך שהעמדות נטו להינעל במהירות ללא אפשרות תמרון. כדי לפתוח את המשחק ולהעניק לו מרחב נשימה, קיבלו שחקני ימי הביניים החלטה מבריקה: להעביר את האבנים אל לוח השחמט.

המעבר ללוח השחמט ולידתה של מלכת המשחק

במהלך המאה השתים־עשרה, בדרום צרפת או בצפון ספרד, התרחש המיזוג ההיסטורי שממנו צמחה הדמקה המודרנית^[3]. לוח השחמט, המורכב מ־64 משבצות בהירות וכהות לסירוגין, היה חפץ מוכר ומקובל בבתי האצולה. כאשר לקחו את 12 האבנים ואת רעיון הדילוג של אלקרק והציבו אותם על 32 המשבצות הכהות של לוח 8×8, נולד משחק חדש בעל זרימה ודינמיות יוצאות דופן^[3].

הגבלת התנועה לאלכסונים של המשבצות הכהות ביטלה באחת את החסימות שאפיינו את אלקרק. לרשות האבנים עמדו כעת נתיבים אלכסוניים רחבים, והשורה האחרונה של היריב הפכה ליעד אסטרטגי ראשון במעלה: הכתרת האבן לדמקה.

בתקופה זו נולדו גם השמות האירופיים של המשחק. בצרפתית עתיקה נקראה האבן שהגיעה לשורה האחרונה בשם fierge, שיבוש של המילה הערבית פרזאן (שמו של השר או היועץ בשחמט המזרחי). כאשר כלי השחמט הפך באירופה למלכה או גבירה (Dame), עבר הכינוי המכובד אל האבן המוכתרת ובהמשך אל המשחק כולו: dames בצרפתית, damas בספרדית, Dame בגרמנית ודמקה בעברית. באנגליה השתרש השם draughts, שמקורו בפועל המתאר את משיכת או גרירת האבנים על העץ, ואילו בצפון אמריקה התקבל השם checkers, על שם המשבצות בלוח 64 המשבצות.

התרשים שלעיל מציג את הפעולה היסודית על הלוח: אבן בהירה מדלגת באלכסון מעל אבן כהה של היריב הנמצאת במשבצת סמוכה ונוחתת במשבצת הפנויה שמעבר לה, תוך הוצאת האבן הנלכדת מן המשחק. עקרון הלכידה הכפויה עומד בבסיס חוקי דמקה אנגלית.

התמסדות החוקים: לכידת חובה והספרים הראשונים

במאות הראשונות לקיומו של המשחק על גבי לוח, התקיימו שתי גישות במקביל: משחק עם לכידה חופשית ומשחק עם לכידה מחייבת. כאשר הלכידה הייתה רשות, שחקן היה רשאי לוותר על הכאת אבן יריב אם העדיף מהלך אחר, דבר שהוביל לא פעם למשחקים פסיביים ומשעממים.

במאה השש־עשרה התקבעה באירופה רפורמה מכרעת: הלכידה הפכה לחובה מוחלטת. אם שחקן התעלם מלכידה אפשרית, היריב היה רשאי להפעיל את חוק הנשיפה (huffing), ולהסיר את האבן הסוררת מן הלוח כעונש לפני ביצוע מהלכו שלו. הפיכת הלכידה לחובה הפכה את הדמקה למדע של חישוב מתמטי מדויק; מעתה יכול היה שחקן מיומן להקריב במכוון אבן אחת או שתיים כדי לאלץ את היריב לסדרת דילוגים כפויים, ולאחר מכן ללכוד שלוש או ארבע אבנים במכה נגדית מוחצת.

עד מהרה החלו חוקי המשחק להופיע בספרים מודפסים. בשנת 1547 הוציא הסופר אנטוניו דה טורקמדה בוולנסיה את ספרו El ingenio, ó juego de marro, de punta, ó damas, הנחשב לספר המודפס הראשון בהיסטוריה העוסק במשחק הדמקה^[4]. כמאתיים שנה לאחר מכן, בשנת 1756, פרסם מורה המתמטיקה ויליאם פיין בלונדון את המדריך המפורסם An Introduction to the Game of Draughts^[5].

ספרו של פיין משנת 1756 זכה לפרסום רב גם בזכות ההקדשה המבריקה שחיבר עבורו איש הרוח דוקטור סמואל ג׳ונסון^[5]. ג׳ונסון הגן על ערכה האינטלקטואלי של הדמקה, וציין כי אותן תכונות של ראיית הנולד, תשומת לב ודיוק הנדרשות בעניינים אנושיים כבדי משקל, באות לידי ביטוי מלא גם על גבי לוח הדמקה. מדריכו של פיין משנת 1756 קיבע את חוקי הדמקה האנגלית המודרנית למשך דורות.

וריאנטים עולמיים: גיאומטריית הלוח ומספר האבנים

עיון במדריך המקיף של סוגי דמקה באתרנו חושף מגוון עשיר של מסורות אזוריות. ההבדלים העיקריים בין הווריאנטים השונים מתמקדים בשלושה היבטים בסיסיים:

1. כיוון הלכידה של אבנים רגילות: בדמקה אנגלית, אבן רגילה לוכדת אך ורק קדימה. לעומת זאת, בדמקה רוסית, בדמקה ברזילאית ובדמקה בינלאומית, האבן נעה קדימה בלבד אך מסוגלת ללכוד בדילוג הן קדימה והן לאחור^[6].
2. טווח התנועה של הדמקה המוכתרת: בדמקה אנגלית, האבן המוכתרת נעה ולוכדת משבצת אחת בכל פעם. בדמקה רוסית, ספרדית ובינלאומית, הדמקה הופכת ל״דמקה מעופפת״ המסוגלת לנוע לאורך כל האלכסון הפתוח ללא הגבלת מרחק.
3. חוק הרוב: בדמקה בינלאומית, כאשר עומדות בפני השחקן מספר אפשרויות לכידה שונות, הוא מחויב לבחור בנתיב הלוכד את המספר הגדול ביותר של אבני יריב.

הגרף שלעיל ממחיש את השוני במספר האבנים ההתחלתי: אלקרק, דמקה אנגלית ודמקה רוסית משוחקים עם 12 אבנים לכל צד על לוח 8×8, דמקה טורקית כוללת 16 אבנים לכל שחקן, ואילו הדמקה הבינלאומית מציבה 20 אבנים לכל מתמודד על גבי לוח ענק בן 100 משבצות^[3].

דמקה אנגלית (Checkers)

משוחקת על לוח של 8×8 עם 12 אבנים לכל צד. האבנים לוכדות קדימה בלבד, והמלכים נעים משבצת אחר משבצת. המשחק מתאפיין בדייקנות רבה, שבה ניהול זמני ההתפתחות והשליטה במשבצות המפתח מכריעים את גורל המערכה.

דמקה בינלאומית (100 משבצות)

פותחה בפריז סביב שנת 1723 על לוח רחב ידיים של 10×10 עם 100 משבצות, ובו 20 אבנים לכל שחקן^[3]. אף שבתקופתה זכתה לכינוי ״דמקה פולנית״ מטעמי אופנה, מקורה הבלתי מעורער הוא בפריז של שנת 1723^[3]. הלוח המרווח בשילוב דמקה מעופפת ולכידה לאחור יוצר אפשרויות מרהיבות לתחבולות טקטיות מורכבות.

דמקה רוסית (ששקי)

משוחקת על לוח של 8×8 עם 12 אבנים לכל צד, אך מתאפיינת בדינמיות התקפית יוצאת דופן. האבנים לוכדות לאחור, הדמקה מעופפת, וההכתרה מתרחשת תוך כדי מהלך הלכידה: אם אבן נוגעת בשורת ההכתרה במהלך סדרת דילוגים ומסוגלת להמשיך בלכידה, היא מוכתרת מיד וממשיכה להכות באותו תור כדמקה מעופפת.

דמקה טורקית

הדמקה הטורקית מוותרת כליל על תנועה אלכסונית ומתנהלת על גבי כל 64 המשבצות של לוח 8×8 ללא הבדל בין צבעי המשבצות. כל שחקן מתחיל עם 16 אבנים בשורות השנייה והשלישית^[6]. האבנים נעות ולוכדות בקווים ישרים – קדימה ולצדדים – ואילו הדמקה נעה בחופשיות כצריח שחמט לאורך כל השורות והטורים הפתוחים.

מסורת הדמקה בישראל ובעולם

בישראל, הדמקה זוכה למעמד אהוד במיוחד, הן בקרב חובבים והן במועדונים תחרותיים מקצועיים. העלייה מברית המועצות לשעבר הנחילה בישראל מסורת עמוקה של דמקה רוסית ודמקה בינלאומית, ושחקנים ישראלים רבים זכו לתהילה בינלאומית באליפויות אירופה והעולם.

המפגש בין מורשת זו לבין תרבות הפנאי המקומית הפך את הדמקה למשחק מוכר לצד השש בש. בבתי ספר ובמרכזים קהילתיים ברחבי הארץ מתקיימות תחרויות המושכות שחקנים צעירים ומבוגרים כאחד.

כיצד פתרו ג׳ונתן שפר ותוכנת צ׳ינוק את המשחק

במשך מאות שנים התחבטו המלומדים בשאלה האם לשחקן הראשון יש יתרון כפוי המבטיח ניצחון. בניגוד למשחק השש בש שבו קיימים גורמי מזל בדמות הטלת קוביות – כפי שפירטנו במחקרנו אודות הגינות הקוביות בשש בש אונליין – הדמקה היא משחק בעל מידע מלא. אין בו קלפים מוסתרים או גורל עיוור, ולכל עמדה על הלוח יש ערך מתמטי מוחלט.

בסוף המאה העשרים יצא חוקר מדעי המחשב הקנדי פרופסור ג׳ונתן שפר מאוניברסיטת אלברטה למסע מחקרי במטרה לפתור חישובית את הדמקה האנגלית על לוח 8×8^[1]. התוכנה שפיתח, אשר נקראה צ׳ינוק (Chinook), שילבה אלגוריתמי חיפוש מתקדמים עם מאגרי ענק של סיומי משחק שחושבו לאחור מלוחות ריקים.

כדי לבחון את עוצמת התוכנה, העמיד אותה שפר מול גדול שחקני הדמקה בכל הזמנים: דוקטור מריון טינסלי (1927–1995), פרופסור למתמטיקה מפלורידה שהחזיק בתואר אלוף העולם בשנים 1955–1958 ובשנים 1970–1992^[1]. הרקורד של טינסלי נחשב ליוצא דופן: לאורך 45 שנות קריירה רשמית ברמות הגבוהות ביותר, הוא הפסיד ב־9 משחקים בודדים בלבד^[1].

בדו־קרב אליפות העולם הראשון ביניהם בשנת 1992 גבר טינסלי על צ׳ינוק בארבעה ניצחונות מול שני הפסדים ושלושים ושלושה משחקי תיקו. במשחק הגומלין בשנת 1994, לאחר שישה משחקי תיקו רצופים, נאלץ טינסלי לפרוש עקב בעיות בריאותיות קשות ונפטר זמן קצר לאחר מכן ממחלת הסרטן^[1]. בעקבות מפגש זה הוכרזה צ׳ינוק בשנת 1994 כאלופת העולם בקרב בין אדם למכונה.

אולם שפר לא הסתפק בניצחון על שחקנים אנושיים ושאף להוכחה מתמטית מוחלטת. מרחב המצבים בדמקה של 8×8 מכיל כ־5 × 10^20 עמדות חוקיות אפשריות – חמש מאות קווינטיליון מצבים^[1]. צוותו של שפר חישב מאגרים ממצים עבור כל העמדות המכילות עשר אבנים או פחות על גבי הלוח.

בשנת 2007, בתום 18 שנות חישוב מבוזר על גבי מאות מעבדים, פרסמו שפר ועמיתיו את מסקנותיהם בכתב העת היוקרתי Science במאמר שכותרתו ״Checkers Is Solved״^[1]. הפסיקה המדעית הייתה חד־משמעית: דמקה על לוח 8×8 נפתרה באופן חלש; אם שני הצדדים בוחרים בכל תור את המהלך המדויק ביותר מבחינה מתמטית, המשחק מסתיים בהכרח בתיקו^[1].

מדוע משחק פתור ממשיך להיות מלא חיים?

עם פרסום המאמר בכתב העת Science, מיהרו גורמים מסוימים להכריז כי המשחק איבד מעניינו. למעשה, ההוכחה הממוחשבת רק איששה את מה שאמני הדמקה ידעו כבר במאה התשע־עשרה: משחק מושלם בין יריבים שקולים שומר על איזון טבעי.

יתרה מכך, הדמקה נפתרה באופן חלש ולא באופן חזק. פתרון חלש מוכיח את התוצאה מעמדת הפתיחה, אך שום מוח אנושי אינו מסוגל לזכור 5 × 10^20 ענפי מהלכים בראשו^[1]. על לוח העץ הממשי, אי־דיוק קל במיקום האבן או ביציאה מוקדמת לשוליים הופך תיקו תאורטי לתבוסה מהירה.

בדומה לשחקני שחמט הלומדים טקטיקות כדי למנוע מט שורה אחרונה בשחמט, או לשחקני שש בש המודדים את ביצועיהם באמצעות מדד הדיוק PR, מארגני תחרויות הדמקה הנהיגו הגרלת פתיחות בת שלושה מהלכים כדי למנוע מסלולים ידועים מראש ולחייב מאבק טקטי מרתק. בין אם מדובר בדמקה אנגלית, בדמקה רוסית או בדמקה הבינלאומית שנוסדה בפריז בשנת 1723, המשחק שמקורו באלקרק של שנת 1283 ממשיך לאתגר ולהקסים את המחשבה האנושית.

שאלות נפוצות

האם משחק הדמקה עתיק יותר משחמט?

הדמקה על לוח עם לכידה אלכסונית נוצרה במאה השתים־עשרה, ולפיכך היא צעירה מן השחמט שהתגבש בהודו במאה השישית (צ׳טורנגה) ובפרס במאה השביעית (שטרנג׳). עם זאת, אביה הקדמון של הדמקה, משחק אלקרק, הוא בעל שורשים עתיקים ביותר והתקיים במזרח במקביל לשלביו המוקדמים של השחמט.

מהו ההבדל העיקרי בין דמקה טורקית לדמקה אנגלית?

דמקה אנגלית משוחקת באלכסון על 32 משבצות כהות בלבד; האבנים נעות ולוכדות צעד אחד באלכסון. בדמקה טורקית משחקים על כל 64 המשבצות של הלוח; האבנים נעות ולוכדות בקווים ישרים בלבד (קדימה ולצדדים), והדמקה המוכתרת נעה בחופשיות לאורך כל השורות והטורים הפתוחים בדומה לצריח שחמט.

האם הדמקה הבינלאומית בת 100 המשבצות נפתרה במחשב?

לא. בשנת 2007 פתר צוותו של ג׳ונתן שפר אך ורק את הדמקה האנגלית על לוח 8×8^[1]. הלוח בן 100 המשבצות של הדמקה הבינלאומית כולל מרחב מצבים אסטרונומי העולה לאין שיעור על יכולות החישוב של ימינו.

באיזה סוג דמקה מומלץ להתחיל ללמוד?

דמקה אנגלית על לוח 64 משבצות היא נקודת הפתיחה המומלצת ביותר עבור מתחילים, הודות לחוקיה הפשוטים ותנועתם המוגבלת של הכלים. הבנת עקרונות האופוזיציה והשליטה בשורת ההכתרה במשחק זה מעניקה בסיס מצוין לקראת המעבר לדמקה הבינלאומית והטורקית.

מקורות

1. Schaeffer, J., Burch, N., Björnsson, Y., Kishimoto, A., Müller, M., Lake, R., Lu, P., & Sutphen, S. (2007). Checkers Is Solved. Science, 317(5844), 1518–1522.
2. Alfonso X of Castile. (1283). Libro de acedrex, dados e tablas (Libro de los juegos). Seville.
3. Murray, H. J. R. (1952). A History of Board-Games Other Than Chess. Oxford University Press.
4. Torquemada, A. de. (1547). El ingenio, ó juego de marro, de punta, ó damas. Valencia.
5. Payne, W. (1756). An Introduction to the Game of Draughts. London.
6. Boardgammon. “Checkers Rules: How to Play, Movement, and Captures.”
7. Boardgammon. “Checkers Crown: Play Online Checkers and Regional Draughts Variants.”

מצאתם טעות או ניסוח צורם? כתבו לנו