Frapper un pion isolé ou construire une case au backgammon : probabilités, critères de Magriel et pièges du risque

Au backgammon, lorsque votre lancer permet soit de bâtir une case clé (la case 5, le point de barre sur la flèche 7 ou la case 4), soit de frapper un pion isolé adverse, ou « blot », la construction l’emporte presque toujours tant que votre jan intérieur reste ouvert. Poser deux pions sur une flèche maîtresse crée un acquis permanent : un relais sûr pour vos pions, un obstacle devant les pions adverses restés à l’arrière et un maillon vers une prime bloquante. À l’inverse, frapper à découvert avec une seule case fermée dans votre jan intérieur n’offre qu’un répit trompeur : envoyé sur la barre, l’adversaire rentre 35 fois sur 36 (97,22 %) face à une case fermée et encore 32 fois sur 36 (88,89 %) face à deux cases fermées^[1].

La frappe prend la priorité dès que le rapport de force s’inverse. Vous avez avantage à frapper lorsque votre jan intérieur compte déjà trois à cinq cases fermées (où l’échec de rentrée bondit de 25 % à 69,44 %), lorsque vous accusez du retard à la course et devez préserver le contact, lorsqu’un blot adverse menace de compléter un ancrage ou une case clé au coup suivant, ou quand un seul lancer permet à la fois de frapper et de couvrir. Dès 1743 à Londres, Edmond Hoyle fondait cette hiérarchie sur le calcul des 36 résultats de deux dés^[2], un principe qui structure toujours les bases de la stratégie au backgammon.

En français, les mots mêmes de cet arbitrage portent la mémoire des anciens jeux de tables. Dans les clubs, on parle aussi bien de « construire une porte » que de « faire une case », de « jan intérieur », de « jan extérieur », de « point de barre » et d’« ancrage »^[3]. Ce lexique nous vient du trictrac des XVIIe et XVIIIe siècles, un autre jeu doté de son propre décompte de points sur le même tablier de 24 flèches ; il désigne désormais les coups du backgammon moderne présentés dans le glossaire du backgammon.

Le dilemme du 3-1 au deuxième coup : pourquoi faire la case 5 vaut mieux qu’une frappe à découvert

Une position fréquente dès le deuxième tour montre concrètement pourquoi une case faite pèse plus lourd qu’une chasse prématurée. D’après les règles du backgammon, chaque joueur aligne 15 pions (30 au total) sur 24 flèches réparties en quatre quadrants de six flèches, soit une course initiale de 167 pips par camp^[1].

Supposons que les Blancs ouvrent par un 6-1 joué en 13/7, 8/7 afin de faire le point de barre (la case 7)^[4]. Les Noirs répondent par un 6-3 joué en 24/15 dans leur numérotation (soit 1/4/10 dans celle des Blancs, en passant par la flèche 4 libre puisque la case 7 est fermée), laissant un pion noir isolé sur la flèche 10 et un autre sur la flèche 1. Au coup suivant, les Blancs tirent un 3-1. Trois options se présentent :

• Construire la case 5 avec 8/5, 6/5. Les Blancs ferment la fameuse « case d’or », complètent une prime de trois cases consécutives (7, 6 et 5), verrouillent deux cases de leur jan intérieur et ne laissent aucun blot exposé^[4].
• Frapper à découvert avec 13/10*/9. Le pion noir ne recule que de 10 pips et va sur la barre face à une seule case fermée (la case 6). Les Noirs rentrent 35 fois sur 36 (97,22 %), tandis que la flèche 5 reste ouverte et que le blot blanc laissé en 9 s’expose aux combinaisons de retour depuis la barre et la flèche 1^[4].
• Frapper et poser un pion isolé en 5 avec 13/10*, 6/5. Face à une seule case fermée, les Noirs rentrent dans 97,22 % des cas et frappent directement le blot blanc de la flèche 5 avec tout lancer contenant un 5, soit 11 fois sur 36 (30,56 %), infligeant aux Blancs un recul de 20 pips^[4].

Le constat est sans appel : en jouant 8/5, 6/5, les Blancs dressent trois cases consécutives (5, 6 et 7) devant le pion noir resté sur la flèche 1, désormais privé des sorties par 4, 5 et 6, tout en armant leur jan intérieur pour les prochaines frappes. Frapper tout de suite en 10 ne gagnait qu’un demi-tour illusoire ; la case 5 commande toute la suite de la partie.

Les 36 lancers de deux dés : la cassure entre 6 et 7 pips et l’effet de la barre

Tout calcul de risque repose sur les 36 résultats ordonnés de deux dés à six faces (21 combinaisons distinctes : 30 lancers mixtes et six doubles joués quatre fois chacun). Les 30 lancers mixtes avancent en moyenne de 7 pips (210 pips) et les six doubles font avancer de 4, 8, 12, 16, 20 et 24 pips (84 pips). Le total atteint 294 pips sur 36 résultats, soit une moyenne de 8,17 pips par lancer (49/6, ou 8 pips et 1/6)^[1].

Sur un plateau ouvert sans flèche intermédiaire bloquée, un chiffre précis sort sur 11 des 36 lancers (30,56 %) et manque sur 25 lancers (69,44 %). De 1 à 6 pips (portée directe), les sommes des deux dés s’ajoutent à ces 11 tirs directs^[4] :

• 1 pip : 11 sur 36 (30,56 %), par un as direct.
• 2 pips : 12 sur 36 (33,33 %), un 2 direct plus 1-1.
• 3 pips : 14 sur 36 (38,89 %), un 3 direct plus 2-1, 1-2 et 1-1.
• 4 pips et 5 pips : 15 sur 36 (41,67 %) chacun.
• 6 pips : 17 sur 36 (47,22 %, contre 19 lancers manqués, soit 52,78 %), avec 11 lancers comportant un 6 et six combinaisons (5-1, 1-5, 4-2, 2-4, 3-3 et 2-2)^[4].

Entre 6 et 7 pips, la cassure est nette : au-delà de 6 pips, l’adversaire doit additionner ses deux dés (ou tirer un double) et le danger chute de 11 lancers sur 36, soit 30,56 points de pourcentage^[4] :

• 7 pips et 8 pips : 6 sur 36 (16,67 %).
• 9 pips : 5 sur 36 (13,89 %).
• 10 pips : 3 sur 36 (8,33 %).
• 11 pips : 2 sur 36 (5,56 %), par 6-5 et 5-6.
• 12 pips : 3 sur 36 (8,33 %), grâce aux trois doubles 6-6, 4-4 et 3-3.
• 15, 16, 18, 20 et 24 pips : 1 sur 36 (2,78 %), tandis que 13, 14, 17, 19, 21, 22 et 23 pips tombent à 0 sur 36 (0 %) avec un seul pion^[4].

Retenez ce repère : à 6 lancers ou moins (16,67 %), le risque indirect reste modéré ; de 11 à 17 lancers (30,56 % à 47,22 %), un tir direct exige une contrepartie concrète ; dès 18 lancers sur 36 (50 %), votre blot est frappé au moins une fois sur deux^[4].

Quant au gain réel d’une frappe, il dépend du nombre k de cases fermées parmi les six flèches de votre jan intérieur. Sur la barre, l’adversaire reste bloqué lorsque ses deux dés tombent sur des cases fermées, soit k au carré lancers sur 36^[1] :

Contre une ou deux cases fermées, l’adversaire revient presque aussitôt en jeu (97,22 % et 88,89 %). Dès trois, quatre ou cinq cases fermées, le risque de « danser » sur la barre sans pouvoir jouer grimpe de 25 % à 69,44 % et transforme chaque frappe en perte de tempo majeure, un tournant travaillé dans les leçons de backgammon.

D’Edmond Hoyle en 1743 à Paul Magriel en 1976 : hiérarchie des cases et critères du risque

Cet équilibre traverse toute l’histoire du backgammon. Lorsqu’Edmond Hoyle fait paraître en 1743 chez l’imprimeur F. Cogan, Fleet Street, à Londres, son traité A Short Treatise on the Game of Back-Gammon, il publie la table des 36 résultats, donne les cotes contre la frappe d’un blot (25 contre 11 pour un as, 19 contre 17 à 6 pips) et fixe l’ordre classique de construction^[2] :

1. Première priorité : faire sa case 5 (Cinque Point) ou celle de l’adversaire.
2. Deuxième priorité : faire son point de barre, la case 7 (Barr Point), pour empêcher les pions arrière adverses de s’échapper par un double six (6-6).
3. Troisième priorité : faire sa case 4 (Quatre Point)^[2].

À l’ère moderne des tournois et du videau (le dé qui sert à doubler l’enjeu), Oswald Jacoby et John R. Crawford rappellent en 1970 dans The Backgammon Book qu’une case faite remplit trois rôles à la fois : escale sûre, verrou contre les coureurs adverses et brique d’une prime de six cases consécutives qu’aucun dé de 1 à 6 ne peut franchir^[5], sujet détaillé dans la construction d’une prime au backgammon.

Mais que faire lorsqu’aucun coup ne bâtit proprement une case ? Au chapitre 16 de son livre « Backgammon » (1976), Paul Magriel remplace les notions vagues de prudence ou de tempérament par six critères structurels départageant le jeu sûr (couvrir ses blots, fermer ses cases) et le jeu audacieux (amorcer une case avec un pion isolé ou frapper à découvert)^[6].

Quatre facteurs favorisent le jeu audacieux :

1. Un jan intérieur plus fort que celui de l’adversaire, qui rend tout échange de frappes favorable^[6].
2. Un ancrage avancé chez l’adversaire (flèche 20 ou 21), qui sécurise vos rentrées et réduit le risque de gammon^[6], principe clé dans le jeu d’attente et le back-game au backgammon.
3. Des blots exposés dans le jan intérieur adverse, vulnérables à vos tirs de retour depuis la barre^[6].
4. Trois ou quatre de vos pions encore à l’arrière, situation où maintenir le contact vaut mieux qu’une course perdue d’avance^[6].

Deux facteurs imposent le jeu sûr :

1. Un jan intérieur adverse puissant (trois à cinq cases fermées), qui rend toute frappe subie très coûteuse en tempo et en risque de gammon^[6].
2. Un adversaire n’ayant plus qu’un pion à l’arrière, ou aucun, libre de vous attaquer sans exposer de traînards^[6].

Slotting, frappe de tempo, blitz et duplication : quand l’attaque prend le dessus

Bâtir des cases n’exclut jamais l’initiative tactique. Comme l’expliquent Jacoby et Crawford (1970) puis Bill Robertie dans Modern Backgammon (2002), cinq outils combinent construction et attaque^[7] :

• Le « slotting » (l’amorce d’une case) consiste à poser volontairement un pion isolé sur une flèche clé (comme la flèche 5 ou la flèche 4) pour la couvrir au tour suivant, lorsque les tirs adverses restent indirects ou que les critères de Magriel vous protègent^[6].
• Frapper et couvrir dans le même lancer offre le double gain idéal : l’adversaire va sur la barre pendant que vous fermez une case intérieure^[7].
• La frappe de tempo vise un blot extérieur pour faire perdre un demi-coup (ou un tour complet) sur la barre, privant l’adversaire des deux dés dont il avait besoin pour faire sa propre case 5 ou sauver un coureur^[7].
• Le blitz lance 10 à 12 pions à l’assaut du jan intérieur pour fermer rapidement quatre à six cases et viser le gammon (deux points, voire trois pour un backgammon)^[7].
• La duplication place deux blots ou deux menaces de telle sorte que l’adversaire ait besoin du même chiffre de dé sur les deux fronts, réduisant ainsi le total de ses lancers efficaces au lieu de les additionner^[7].

Le score du match pèse tout autant. Mené 2 à 4 dans un match en 5 points (ou distancé dans un match en 7 points), un joueur recherche les gammons à 2 points et attaque plus volontiers en blitz. À l’inverse, à 1 point de la victoire sous la règle de Crawford en match, vos gammons ne rapportent aucun point supplémentaire tandis que ceux de l’adversaire comptent double : la construction propre reprend tous ses droits^[7].

Pourquoi nous craignons les bons « slots » et tentons les mauvaises frappes : l’éclairage des études sur le risque

Pourquoi tant de joueurs redoutent-ils d’amorcer une case en début de partie, puis tentent-ils des frappes hasardeuses dès qu’ils prennent du retard ? L’économie comportementale éclaire ces réflexes, à condition de rappeler précisément le cadre et les limites de chaque expérience.

En 1979 dans Econometrica (volume 47, numéro 2, pages 263 à 291), Daniel Kahneman et Amos Tversky ont testé des loteries monétaires hypothétiques auprès d’étudiants et d’enseignants d’université, notamment sur des échantillons de 72 et de 95 répondants^[8]. Côté gains, 80 % des 95 participants préféraient un gain sûr de 3 000 à 80 % de chances d’obtenir 4 000 (espérance de 3 200). Côté pertes, face au problème symétrique soumis à 95 participants, 92 % préféraient courir 80 % de risque de perdre 4 000 (perte attendue de 3 200) plutôt que de subir une perte certaine de 3 000, illustrant dès la page 279 que les pertes pèsent davantage que des gains équivalents^[8]. En 1992 (Journal of Risk and Uncertainty, volume 5, numéro 4, pages 297 à 323), auprès de 25 étudiants de cycle supérieur (12 hommes et 13 femmes) de Berkeley et Stanford, Tversky et Kahneman ont estimé un ratio médian d’aversion aux pertes de 2,25 et un exposant de sensibilité de 0,88^[9]. Ces deux études portaient sur des loteries monétaires hypothétiques en milieu universitaire, et non sur des joueurs de backgammon ni sur le choix d’un coup devant un plateau ; elles expliquent par analogie pourquoi amorcer une case paraît exposer un pion à une perte immédiate, tandis qu’un retard à la course pousse à tenter le tout pour le tout avec une frappe fragile.

En 2005, Rachel Croson et Jacqueline Sundali (Journal of Risk and Uncertainty, volume 30, numéro 3, pages 195 à 209) ont dépouillé 18 heures de vidéosurveillance (trois blocs de 6 heures filmés en juillet 1998 dans un casino de Reno) portant sur 904 coups de roulette et 139 joueurs auteurs de 24 131 mises, dont 22 527 mises intérieures et 1 604 mises extérieures à chance simple^[10]. Après cinq résultats identiques d’affilée (au seuil de 0,05), et surtout après six ou plus (au seuil de 0,01, où 85 % des 41 mises extérieures pariaient contre la série), les joueurs cédaient à l’erreur du parieur ; de plus, 80 % des joueurs (111 sur 139) quittaient immédiatement la table après une perte, contre 20 % (28 sur 139) après un gain^[10]. Cette étude observait la roulette de pur hasard (avec un avantage de la maison de 5,26 %), pas un jeu de stratégie comme le backgammon : elle rappelle simplement que les dés n’ont aucune mémoire et qu’un blot laissé à 6 pips reste exposé à 17 lancers sur 36 (47,22 %), même après cinq ou six tirs manqués d’affilée.

Ce qui distingue le backgammon des autres jeux de tables

Au sein de la famille décrite dans les variantes du backgammon, envoyer un blot sur la barre tout en exigeant deux pions pour fermer une flèche constitue la marque propre du backgammon standard : les portes du tavli grec (l’une de ses trois variantes avec le plakoto et le fevga), le nardy court russe (korotkie nardy), le tavla turc, le shesh besh joué en Israël et dans le monde arabe ou le takhteh nard persan^[11]. Au plakoto (ou mahbousa), un pion isolé rejoint par l’adversaire est immobilisé sur place au lieu d’aller sur la barre ; au fevga comme au nardy long (ainsi qu’à l’ancien jacquet français, qui est un autre jeu sur le même plateau), la frappe n’existe pas du tout, car un seul pion suffit à bloquer une flèche^[11].

Avant de lâcher votre pion sur le plateau, ou lorsque vous choisissez de jouer au backgammon gratuitement dans le navigateur, posez-vous trois questions rapides : combien de cases sont déjà fermées dans chaque jan intérieur (une ou deux, face auxquelles on rentre dans 97,22 % et 88,89 % des cas, ou déjà trois à cinq) ? Votre pion exposé se situe-t-il sous un tir direct de 1 à 6 pips (jusqu’à 47,22 %) ou au-delà du seuil des 7 pips (16,67 % et moins) ? Et que disent les six critères de Magriel ? Tant qu’une frappe ne fait que remettre en circulation un pion adverse, faites votre case 5 ou votre point de barre.

Sources

1. Boardgammon. “Backgammon Rules: Board Setup, Movement, Hitting, and Bearing Off.”
2. Hoyle, E. (1743). A Short Treatise on the Game of Back-Gammon. Printed for F. Cogan, Fleet-Street, London.
3. Boardgammon. “Backgammon Glossary: Blots, Points, Primes, Anchors, and Tempo.”
4. Boardgammon. “Backgammon Strategy: Game Plans, Opening Rolls, Cube Theory, and Pip Counting.”
5. Jacoby, O. & Crawford, J. R. (1970). The Backgammon Book. Viking Press, New York.
6. Magriel, P. (1976). Backgammon. Quadrangle / The New York Times Book Co., New York.
7. Robertie, B. (2002). Modern Backgammon. The Game Grid, Inc., Arlington.
8. Kahneman, D. & Tversky, A. (1979). “Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk.” Econometrica, 47(2), 263–291.
9. Tversky, A. & Kahneman, D. (1992). “Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty.” Journal of Risk and Uncertainty, 5(4), 297–323.
10. Croson, R. & Sundali, J. (2005). “The Gambler’s Fallacy and the Hot Hand: Empirical Data from Casinos.” Journal of Risk and Uncertainty, 30(3), 195–209.
11. Boardgammon. “Backgammon Variants: Tavli, Plakoto, Fevga, Nardy, and Regional Rules.”

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