להכות אבן חשופה או לסגור משבצת בשש־בש: החשבון שמפריד בין רעש ליתרון

על שולחן עץ מתקפל מול הים בתל אביב או בבית קפה ירושלמי, אין צליל משכנע יותר ממכה חדה שמעיפה אבן של היריב החוצה. סביב השולחן קוראים לזה ״לאכול״ ולמשבצת תפוסה קוראים ״בית״, אבל כשמפרקים את המהלך למספרים כדאי לדייק במילים: בשש־בש מכים אבן חשופה ושולחים אותה אל הבר (הפס שבאמצע הלוח), ובונים משבצת סגורה (שתי אבנים או יותר על אותו משולש) בתוך הבית — רבע הלוח הכולל את שש המשבצות מ־1 עד 6 שמהן מוציאים אבנים בסיום.

כשהקוביות מציבות אתכם מול הברירה שבין הכאת אבן חשופה של היריב לבין סגירת משבצת מפתח משלכם, התשובה ברוב עמדות הפתיחה ואמצע המשחק ברורה: בניית משבצות מפתח, ובראשן משבצת 5, משבצת 7 (משבצת הבר) ומשבצת 4, מנצחת הכאה חשופה שאינה מגובה בבית חזק. משבצת סגורה היא נכס קבוע שמגן על האבנים שלכם, חוסם את היריב ומקדם חומת חסימה רצופה (פריים). הכאה לתוך בית פתוח, לעומת זאת, קונה עיכוב רגעי בלבד: מול משבצת סגורה אחת בבית שלכם היריב נכנס מהבר ב־35 מתוך 36 הטלות (97.22%), ומול שתי משבצות סגורות הוא נכנס ב־32 מתוך 36 הטלות (88.89%).

מתי ההכאה בכל זאת קודמת לבנייה? לפי העקרונות של אסטרטגיה בשש־בש, בארבעה מצבים ברורים: כשכבר בניתם בית חזק של שלוש עד חמש משבצות סגורות (שם הסיכוי שהיריב יישאר תקוע על הבר מגיע ל־25% עד 69.44%), כשאתם בפיגור במרוץ הפיפים וזקוקים למגע, כשאבן חשופה של היריב מאיימת לסגור עוגן מתקדם או משבצת מפתח בתור הבא, או כשאתם יכולים להכות ולכסות באותו תור.

הפער בין האינסטינקט של שולחן החוף לבין החישוב הקר אינו מקרי. במחקרם המכונן משנת 1979 בכתב העת Econometrica על קבלת החלטות בתנאי סיכון, הראו הפסיכולוגים הישראלים דניאל כהנמן ועמוס טברסקי איך אנשים מעניקים להפסדים משקל כבד יותר מלרווחים מקבילים ונוטים להימורים נואשים כשהם חשים בפיגור ^[1]. אף שהמחקר שלהם בחן הגרלות כספיות באוניברסיטה ולא משחקי לוח, שחקני שש־בש פוגשים את הדפוס הזה בכל ערב: פחד מוגזם להניח אבן בונה חשופה מצד אחד, ומרדף יקר אחרי הכאות סרק מצד שני.

למה הטלת 3-1 בפתיחה חושפת את ההבדל בין מכה רועשת לנכס קבוע?

שני התורות הראשונים שמופיעים בלוח שבראש הכתבה ממחישים את הדילמה בשיא חדותה. לפי חוקי שש־בש, בשש־בש רגיל כל צד מתחיל עם 15 אבנים (30 אבנים בסך הכול על פני 24 משבצות בארבעה רבעים של שש משבצות) ובמרוץ פתיחה זהה של 167 פיפים לכל שחקן.

בתור הראשון הלבן מטיל 6-1 ומשחק 13/7 ו־8/7 כדי לסגור את משבצת 7 (משבצת הבר). השחור משיב ב־6-3 ומבריח אבן אחורית ממשבצת 1 של הלבן דרך משבצת 4 הפנויה עד משבצת 10 (24/15 במספור השחור, כלומר 1/4/10 במספור הלבן), כך שנשארות לו שתי אבנים חשופות: במשבצת 1 ובמשבצת 10.

כעת הלבן מטיל 3-1. ליד שולחן מזדמן היד נשלחת מעצמה אל משבצת 13 כדי להכות במשבצת 10, אבל השוואת שלוש האפשרויות מראה למה הבנייה עדיפה בהרבה:

• בניית משבצת 5 (8/5 ו־6/5): הלבן סוגר את משבצת 5 (״נקודת הזהב״, ובשפת השולחן ״בית 5״), ומשלים פריים של שלוש משבצות רצופות (7, 6 ו־5) עם שתי משבצות סגורות בבית ו־0 אבנים חשופות על הלוח.
• *הכאה חשופה בשדה החיצוני (13/10/9)**: השחור מאבד רק 10 פיפים במרוץ, ונכנס מהבר ב־35 מתוך 36 הטלות (97.22%) כי בבית של הלבן סגורה רק משבצת 6. בתמורה הלבן מותיר את משבצת 5 פתוחה, מוריד אבן ממשבצת 13 ומשאיר אבן חשופה במשבצת 9 בטווח פגיעה משולב של השחור מהבר וממשבצת 1.
• *הכאה והנחת אבן חשופה במשבצת 5 (13/10 ו־6/5)**: הלבן מכה במשבצת 10 ומניח אבן חשופה במשבצת 5, אלא שהשחור נכנס מהבר מול משבצת סגורה אחת בלבד ופוגע ישירות במשבצת 5 בכל הטלה שכוללת 5 — בדיוק 11 מתוך 36 הטלות (30.56%), מכה שמחזירה את הלבן 20 פיפים לאחור במרוץ.

השורה התחתונה חדה: המהלך 8/5 ו־6/5 רוכש נכס קבוע בלב הבית בלי שום סיכון מיידי, בעוד ההכאה במשבצת 10 קונה רעש של שנייה ומזמינה מכת נגד.

מה הסיכוי שיפגעו באבן חשופה בכל מרחק על הלוח?

שתי קוביות בנות שש פאות מייצרות 36 תוצאות סדורות, שמתחלקות ל־21 צירופים שונים: 30 תוצאות מעורבות (15 זוגות שמופיעים פעמיים ומזיזים בממוצע 7 פיפים, ובסך הכול 210 פיפים) ועוד שש תוצאות של דאבל בקוביות — אותו מספר בשתי הקוביות שמשחקים ארבע פעמים (4, 8, 12, 16, 20 ו־24 פיפים, ובסך הכול 84 פיפים). בסך הכול מדובר בתנועה של 294 פיפים על פני 36 תוצאות, כלומר ממוצע של 8.17 פיפים להטלה (49 חלקי 6, שהם שמונה ושישית).

בלוח פתוח שבו משבצות הביניים פנויות, כל מספר נתון בין 1 ל־6 מופיע ב־11 מתוך 36 תוצאות (30.56%) ונעדר מ־25 התוצאות הנותרות (69.44%). מכאן נגזרת טבלת הפגיעה מאבן יריב אחת:

• מרחק 1: 11 הטלות ישירות עם 1 — 11 מתוך 36 (30.56%).
• מרחק 2: 11 הטלות עם 2 ועוד הדאבל 1-1 — 12 מתוך 36 (33.33%).
• מרחק 3: 11 הטלות עם 3 ועוד 2-1, 1-2 ו־1-1 — 14 מתוך 36 (38.89%).
• מרחק 4: 11 הטלות עם 4 ועוד 3-1, 1-3, 2-2 ו־1-1 — 15 מתוך 36 (41.67%).
• מרחק 5: 11 הטלות עם 5 ועוד 4-1, 1-4, 3-2 ו־2-3 — 15 מתוך 36 (41.67%).
• מרחק 6: 11 הטלות עם 6 ועוד שישה צירופים (5-1, 1-5, 4-2, 2-4, 3-3 ו־2-2) — 17 מתוך 36 (47.22% פגיעה מול 19 החטאות שהן 52.78%), שיא הסיכון מאבן תוקפת אחת.

ברגע שהמרחק עולה מ־6 אל מרחק 7, קובייה אחת לבדה כבר אינה מגיעה אל המטרה. היריב חייב לשלב את שתי הקוביות (6-1, 1-6, 5-2, 2-5, 4-3 ו־3-4), והסיכוי צונח ב־11 הטלות (30.56 נקודות אחוז) אל 6 מתוך 36 בלבד (16.67%).

מעבר לכך הולך ופוחת הסיכוי לפגיעה עקיפה: במרחק 8 יש 6 מתוך 36 (16.67%); במרחק 9 יש 5 מתוך 36 (13.89%); במרחק 10 יש 3 מתוך 36 (8.33%); במרחק 11 נותרות רק שתי תוצאות (6-5 ו־5-6, כלומר 5.56%); ובמרחק 12 הסיכוי עולה חזרה ל־3 מתוך 36 (8.33%) בזכות שלושה דאבלים: 6-6, 4-4 ו־3-3. במרחקים 15, 16, 18, 20 ו־24 פוגע דאבל יחיד (1 מתוך 36, 2.78%), ובמרחקים 13, 14, 17, 19, 21, 22 ו־23 הסיכוי לפגיעה מאבן יריב אחת הוא 0 מתוך 36 (0%).

כלל האצבע המעשי פשוט: עד 6 הטלות פוגעות (16.67% ומטה) זו חשיפה עקיפה מתונה; 11 עד 17 הטלות (30.56% עד 47.22%) הן חשיפה ישירה שדורשת תמורה מבנית ברורה; ומ־18 מתוך 36 (50%) ומעלה האבן החשופה נפגעת לפחות במחצית מההטלות.

מתי הכאה בכל זאת מנצחת בניית משבצת?

אותו חשבון שמסביר למה הכאה מוקדמת מאכזבת בפתיחה מסביר גם למה הכאה הופכת לקטלנית כשהבית שלכם כבר בנוי. יריב שנמצא על הבר חייב להיכנס למשבצת פתוחה בין 1 ל־6 לפני כל מהלך אחר, ולכן הסיכוי שיישאר בחוץ בשתי הקוביות ויאבד את תורו מטפס בקצב ריבועי עם כל משבצת שאתם סוגרים בבית:

• 0 משבצות סגורות בבית: נכנס ב־36 מתוך 36 (100%), נשאר בחוץ ב־0 מתוך 36 (0%).
• משבצת סגורה אחת: נכנס ב־35 מתוך 36 (97.22%), נשאר בחוץ ב־1 מתוך 36 (2.78%).
• שתי משבצות סגורות: נכנס ב־32 מתוך 36 (88.89%), נשאר בחוץ ב־4 מתוך 36 (11.11%).
• שלוש משבצות סגורות: נכנס ב־27 מתוך 36 (75%), נשאר בחוץ ב־9 מתוך 36 (25%).
• ארבע משבצות סגורות: נכנס ב־20 מתוך 36 (55.56%), נשאר בחוץ ב־16 מתוך 36 (44.44%).
• חמש משבצות סגורות: נכנס ב־11 מתוך 36 (30.56%), נשאר בחוץ ב־25 מתוך 36 (69.44%).
• שש משבצות סגורות (בית נעול): 0 מתוך 36 כניסות (0%) ו־36 מתוך 36 בחוץ (100%).

אוסוולד ג׳ייקובי (Oswald Jacoby) וג׳ון ר׳ קרופורד (John R. Crawford) הדגישו בספרם משנת 1970 כי כל משבצת סגורה מתפקדת במקביל כתחנת מעבר בטוחה, כמחסום מול אבני היריב וכחוליה בדרך לפריים מלא של שש משבצות רצופות שאף קובייה מ־1 עד 6 אינה עוברת ^[2]. הכאה לתוך בית עם משבצת סגורה אחת או שתיים רק ממחזרת אבן יריב שנכנסת מייד, ולעיתים אף עוזרת ליריב שמנהל משחק השהיה ומשחק אחורי בשש־בש לשפר את התזמון שלו.

מנגד, בארבעה מצבים ההכאה תופסת עדיפות ראשונה:

1. מתקפת בליץ לתוך בית בנוי: כשכבר סגרתם שלוש או ארבע משבצות בבית וריכזתם 10 עד 12 אבנים באזור ההתקפה, ביל רוברטי (Bill Robertie) מראה בספרו משנת 2002 שהכאה רצופה בתוך הבית נועלת ארבע עד שש משבצות וחותרת ל־2 נקודות על מארס או ל־3 נקודות על מארס טורקי ^[3], כפי שמפורט בכתבה על מארס ומארס טורקי בשש־בש.
2. הכאה וכיסוי או סיכול עוגן מתקדם: פגיעה באבן יריב שמאיימת לסגור עוגן במשבצת 5 שלכם (משבצת 20 שלו) או במשבצת 4 שלכם (משבצת 21 שלו), ובייחוד כשאתם מכים ומכסים באותו תור.
3. הכאת תזמון (טמפו): כשאין מהלך בנייה נקי, הכאה בשדה החיצוני מאלצת את היריב לבזבז חצי תור על כניסה מהבר במקום לסגור את משבצת 5 שלו. מילון מונחי שש־בש מרכז הגדרות קצרות לפריים, עוגן, בליץ ותזמון.
4. פיגור במרוץ הפיפים: כשאתם מאחור במרוץ, בנייה שקטה מובילה להפסד ודאי, ולכן חייבים לייצר מגע והכאות.

אילו משבצות סוגרים קודם ואיך מחליטים בין משחק זהיר למשחק נועז?

סדר העדיפויות של המשבצות נוסח כבר בשנת 1743, כשאדמונד הויל (Edmond Hoyle) פרסם ברחוב פליט בלונדון את חיבורו הקצר על שש־בש ^[4]. הויל חישב את 36 התוצאות של שתי קוביות, הציג את היחסים נגד פגיעה באבן חשופה (25 ל־11 נגד פגיעה במרחק 1, ו־19 ל־17 נגד פגיעה במרחק 6), ודירג את יעדי הבנייה בסדר שמחזיק מעמד עד היום:

1. עדיפות ראשונה: לסגור את משבצת 5 שלכם או את משבצת 5 של היריב (עוגן במשבצת 20).
2. עדיפות שנייה: לסגור את משבצת 7 (משבצת הבר), כדי לעצור בריחה של אבנים אחוריות עם דאבל 6-6.
3. עדיפות שלישית: לסגור את משבצת 4 בתוך הבית שלכם.

בפרק 16 של ספרו משנת 1976 הפך פול מגריאל (Paul Magriel) את הבחירה בין ״משחק זהיר״ ל״משחק נועז״ מתכונת אופי לשישה מבחנים מבניים על הלוח ^[5]. משחק זהיר פירושו סגירת משבצות נקייה וכיסוי אבנים חשופות; משחק נועז פירושו הכאה חשופה בלי כיסוי או ״סלוטינג״ — הנחת אבן חשופה יזומה במשבצת מפתח בתקווה לכסות אותה בתור הבא.

ארבעה תנאים מצדיקים משחק נועז:

• הבית שלכם חזק מהבית של היריב: בחילופי הכאות מרוויח הצד שהבית שלו מקשה יותר על היריב להיכנס מהבר.
• אתם מחזיקים עוגן מתקדם בבית היריב: משבצת 20 או משבצת 21 סגורה מבטיחה כניסה נוחה מהבר ומקטינה מאוד את סכנת המארס.
• בבית של היריב מונחות אבנים חשופות: אם יכה אתכם, הוא מסתכן במכת נגד מיידית מהבר בתוך הבית שלו.
• יש לכם שלוש או ארבע אבנים אחוריות: כשאתם ממילא בפיגור בפריסה, פתיחת חזיתות ומגע משרתים אתכם יותר ממשחק שקט.

שני תנאים מחייבים משחק זהיר:

• ליריב יש בית חזק של שלוש עד חמש משבצות סגורות: פגיעה שתשלח אתכם אל הבר עלולה לעלות באובדן תורות כבד ובסכנת מארס.
• ליריב נותרו 0 אבנים אחוריות או אבן אחורית אחת: יריב שכבר חילץ את העורף יכול לתקוף אתכם בלי לחשוף נקודות תורפה מאחור.

אליהם מצטרפים שני שיקולים שהדגיש רוברטי ב־2002 ^[3]. הראשון הוא שכפול מספרים (דופליקציה): הצבת שתי אבנים חשופות או שני איומים כך שהיריב זקוק לאותו מספר בקובייה לשניהם, מה שמקטין את סך ההטלות המסוכנות. השני הוא ניקוד המאטש: בפיגור 2 ל־4 במאטש עד 5 נקודות, מארס שווה 2 נקודות ומשווה את התוצאה ולכן כדאי לתקוף באגרסיביות; ואילו כשחסרה לכם נקודה אחת לניצחון תחת חוק קרופורד בשש־בש, בנייה זהירה מונעת מהיריב את המארס הדרוש לו.

למה שחקנים פוחדים להשאיר אבן בונה חשופה ורודפים אחרי הכאות נקמה?

גם מי שמכיר את ההסתברויות נופל לא פעם בשתי מלכודות הפוכות: זהירות יתר כשכדאי להניח אבן בונה חשופה, והכאות נקמה פזיזות אחרי מכה כואבת. מחקרים בכלכלה התנהגותית שופכים אור על שתי הטעויות האלה, כל עוד מדייקים במה שנמדד בהם ובמה שלא.

במחקרם משנת 1979 בכתב העת Econometrica בחנו דניאל כהנמן ועמוס טברסקי שאלוני הגרלות כספיות בקרב סטודנטים ואנשי סגל באוניברסיטאות, ובהם מדגמים של 72 ו־95 נבדקים ^[1]. באחד מצמדי השאלות (95 משתתפים), 80% העדיפו רווח בטוח של 3,000 על פני סיכוי של 80% לזכות ב־4,000 (תוחלת של 3,200), אך מול אותם סכומים כהפסד בחרו 92% להמר על סיכוי של 80% להפסיד 4,000 במקום לספוג הפסד בטוח של 3,000. בניסוי המשך מבוקר משנת 1992 בכתב העת Journal of Risk and Uncertainty עם 25 תלמידי תארים מתקדמים באוניברסיטאות ברקלי וסטנפורד (12 גברים ו־13 נשים), אמדו טברסקי וכהנמן מקדם שנאת הפסד חציוני של 2.25 ומעריך רגישות פוחתת של 0.88 ^[6].

חשוב לדייק בגבולות הממצא: שני המחקרים בדקו הגרלות כספיות בסביבה אוניברסיטאית ולא בחנו שחקני שש־בש או מהלכי לוח. עם זאת, האנלוגיה לשולחן המשחק ברורה: הנחת אבן חשופה במשבצת 5 נראית לשחקן זהיר מדי כמו הזמנה להפסד מיידי צורב, ואילו שחקן שנקלע לפיגור מתפתה להכאה חשופה בתקווה למחוק את הפער במכה אחת.

מלכודת שנייה צצה אחרי רצף הטלות חד־צדדי: ״הוא פגע בי חמש פעמים ברצף, הפעם הוא יחטיא״. בשנת 2005 ניתחו רייצ׳ל קרוסון (Rachel Croson) וז׳קלין סונדאלי (Jacqueline Sundali) בכתב העת Journal of Risk and Uncertainty צילומי אבטחה של 18 שעות מקזינו ברינו שבנבאדה מיולי 1998, שכללו 904 סיבובי רולטה ו־139 שחקנים שהניחו 24,131 הימורים (22,527 פנימיים ו־1,604 חיצוניים) ^[7]. אחרי רצף של חמש תוצאות זהות או יותר, וב־85% מתוך 41 ההימורים החיצוניים אחרי רצף של שש תוצאות זהות או יותר, המהמרים הימרו נגד הרצף — כשל המהמר הקלאסי. נוסף על כך, 80% מהשחקנים (111 מתוך 139) עזבו את השולחן מייד אחרי הפסד, לעומת 20% בלבד (28 מתוך 139) שעזבו אחרי זכייה.

גם כאן הגבול חד: המחקר תיעד רולטה בקזינו עם יתרון בית של 5.26%, משחק מזל טהור בלי שיקול טקטי, ולא בדק שחקני שש־בש. אבל החוק המתמטי של אירועים בלתי תלויים זהה לחלוטין: אבן חשופה במרחק 6 פיפים בלוח פתוח עומדת בפני סיכון של 17 מתוך 36 (47.22%) בכל הטלה מחדש, בלי שום קשר למה שקרה בחמש או בשש ההטלות הקודמות.

באילו גרסאות של שש־בש בכלל מותר להכות ומה בודקים לפני כל מהלך?

עצם הברירה בין הכאה לבנייה היא שמבדילה את השש־בש הרגיל מקרוביו במשפחת המשחקים. בסקירת גרסאות שש־בש רואים את ההבדל מייד. השש־בש הרגיל נקרא ביוון פורטס, אחד משלושת משחקי הטאבלי לצד פלקוטו ופבגה (Fevga), ומוכר גם כנארדי קצר ברוסית, טאבלה בטורקית ותכתה־נרד בפרסית; בכל הגרסאות האלה אבן חשופה נשלחת בהכאה אל הבר ונדרשות שתי אבנים כדי לסגור משבצת. לעומת זאת, בפלקוטו ובמחבוסה אבן חשופה נלכדת במקומה מתחת לאבן היריב במקום לעלות על הבר, ואילו בפבגה ובנרד ארוך (שש־בש ארוך) אין הכאה כלל משום שאפילו אבן אחת לבדה חוסמת את המשבצת.

לפני שאתם שולחים יד להכות אבן חשופה בשש־בש רגיל, עברו על ארבע שאלות מהירות:

1. כמה משבצות סגורות מחכות ליריב בבית שלכם? מול משבצת סגורה אחת או שתיים היריב נכנס מהבר ב־97.22% או ב־88.89% מההטלות; בדקו אם ההכאה באמת מרוויחה תזמון או רק חושפת אתכם למכת נגד.
2. איזו משבצת אתם יכולים לסגור במקום להכות? אם המהלך סוגר את משבצת 5, משבצת 7 או משבצת 4, או מאריך פריים קיים, ויתור על הבנייה דורש סיבה טקטית כבדת משקל.
3. מה מרחק האיום אם תשאירו אבן חשופה? הבחינו בין טווח ישיר של 1 עד 6 פיפים (11 עד 17 הטלות פוגעות מתוך 36) לבין טווח עקיף של 7 ומעלה (6 מתוך 36 ופחות), וחפשו שכפול מספרים.
4. מה מצב המרוץ ובית היריב? בית יריב חזק ועורף נקי שלו מחייבים בנייה זהירה; בית חזק שלכם, עוגן במשבצת 20 או פיגור במרוץ מצדיקים מהלך נועז.

אפשר לתרגל את המצבים האלה צעד אחר צעד דרך שיעורי שש־בש, לבדוק בסיום כל משחק אילו הכאות פזיזות פגעו בציון שלכם לפי מדד הביצועים PR (שסופר אובדן סיכויים מטעויות, כך שציון נמוך יותר מעיד על משחק מדויק יותר), או לפתוח לוח כדי לשחק שש־בש בחינם בדפדפן מול היריב הבא ולראות בזמן אמת מתי משבצת 5 שקטה מנצחת מכה רועשת.

מקורות

1. Kahneman, D. & Tversky, A. (1979). “Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk.” Econometrica, 47(2), 263–291.
2. Jacoby, O. & Crawford, J. R. (1970). The Backgammon Book. Viking Press, New York.
3. Robertie, B. (2002). Modern Backgammon. The Game Grid, Inc., Arlington.
4. Hoyle, E. (1743). A Short Treatise on the Game of Back-Gammon. Printed for F. Cogan, Fleet-Street, London.
5. Magriel, P. (1976). Backgammon. Quadrangle / The New York Times Book Co., New York.
6. Tversky, A. & Kahneman, D. (1992). “Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty.” Journal of Risk and Uncertainty, 5(4), 297–323.
7. Croson, R. & Sundali, J. (2005). “The Gambler’s Fallacy and the Hot Hand: Empirical Data from Casinos.” Journal of Risk and Uncertainty, 30(3), 195–209.
8. Boardgammon. “Backgammon Strategy: Game Plans, Opening Rolls, Cube Theory, and Pip Counting.”
9. Boardgammon. “Backgammon Rules: Board Setup, Movement, Hitting, and Bearing Off.”
10. Boardgammon. “Backgammon Variants: Tavli, Plakoto, Fevga, Nardy, and Regional Rules.”
11. Boardgammon. “Backgammon Glossary: Blots, Points, Primes, Anchors, and Tempo.”

מצאתם טעות או ניסוח צורם? כתבו לנו