Διεθνής ντάμα στο ταμπλό 10×10: κανόνες, συνδυασμοί και γιατί τα 100 τετράγωνα αλλάζουν το παιχνίδι

Αν μεγάλωσες παίζοντας ντάμα στην Ελλάδα, πιθανότατα έχεις συναντήσει δύο διαφορετικά παιχνίδια κάτω από το ίδιο όνομα. Το πρώτο στήνεται στα 32 σκούρα τετράγωνα ενός ταμπλό 8×8 με 12 πούλια ανά πλευρά και κανόνες που αλλάζουν από σπίτι σε σπίτι: άλλος επιτρέπει στην ντάμα να τρέχει όλη τη διαγώνιο, άλλος την περιορίζει σε ένα βήμα. Το δεύτερο κρατά την παράδοση των παλιών καφενείων, συγγενική με την τουρκική ντάμα, όπου 16 πούλια ανά πλευρά κινούνται μπροστά και πλάγια σε όλα τα 64 τετράγωνα· η διαφορά φαίνεται καθαρά αν συγκρίνεις την ιταλική και την τουρκική ντάμα.

Όταν καθίσεις μπροστά σε ταμπλό διεθνούς ντάμας (γνωστής ιστορικά ως «πολωνικής ντάμας»), η γεωμετρία αλλάζει αμέσως. Το πλέγμα μεγαλώνει σε 10×10 (100 τετράγωνα, με παιχνίδι μόνο στα 50 σκούρα) και κάθε παίκτης ξεκινά με 20 πούλια σε τέσσερις σειρές, δηλαδή 40 συνολικά αντί για 24. Όπως έδειξε ο H. Jaap van den Herik με τους Jos Uiterwijk και Jack van Rijswijck το 2002, αυτά τα 36 επιπλέον τετράγωνα και τα 16 επιπλέον πούλια ανεβάζουν τις νόμιμες θέσεις από περίπου 5 × 10^20 στην αγγλική ντάμα 8×8 σε περίπου 10^30 στη διεθνή 10×10, με ανώτερες εκτιμήσεις κοντά στο 5,4 × 10^31^[1].

Ανάμεσα σε όλα τα είδη της ντάμας στον κόσμο, η διεθνής ντάμα 10×10 αποτελεί το επίσημο πρότυπο των παγκόσμιων πρωταθλημάτων από την Ολλανδία και τη Γαλλία ως την πρώην Σοβιετική Ένωση και τη Δυτική Αφρική^[2][3]. Το βάθος της γεννιέται από τέσσερις κανόνες — το φάγωμα προς τα πίσω από απλά πούλια, την ντάμα που τρέχει όλη τη διαγώνιο («ιπτάμενη ντάμα»), το υποχρεωτικό μέγιστο φάγωμα και τα φαγωμένα πούλια που μένουν προσωρινά ως εμπόδια — οι οποίοι μετατρέπουν ήρεμες θέσεις σε αλυσιδωτούς συνδυασμούς.

Πώς στήνεται το ταμπλό 10×10 και πώς διαβάζεται η αρίθμηση 1–50;

Το κάτω αριστερό γωνιακό τετράγωνο κάθε παίκτη πρέπει να είναι σκούρο^[3]. Το παιχνίδι εξελίσσεται αποκλειστικά στα 50 σκούρα τετράγωνα: τα Μαύρα στήνουν 20 πούλια στις τέσσερις πρώτες σειρές τους, τα Λευκά άλλα 20 στις δικές τους· στη μέση μένουν ελεύθερες δύο κεντρικές σειρές (η πέμπτη και η έκτη, με 10 κενά σκούρα τετράγωνα).

Σε αντίθεση με τους κανόνες της αγγλικής ντάμας, όπου ξεκινούν τα Μαύρα με επτά νόμιμες πρώτες κινήσεις, στη διεθνή ντάμα 10×10 ξεκινούν πάντα τα Λευκά με εννέα νόμιμα ανοίγματα^[4][3]. Οι τρεις παραδόσεις που συναντάς στην Ελλάδα διαφέρουν στα εξής σημεία:

Από το 1770 οι παρτίδες καταγράφονται με την αρίθμηση του Pierre Manoury^[3]. Αριθμούνται μόνο τα 50 σκούρα τετράγωνα από αριστερά προς τα δεξιά, ξεκινώντας από την πίσω γραμμή των Μαύρων: τα τετράγωνα 1–20 φιλοξενούν τα Μαύρα (τα 1–5 είναι η γραμμή όπου τα Λευκά κάνουν ντάμα), τα 21–30 είναι οι δύο κενές μεσαίες σειρές και τα 31–50 φιλοξενούν τα Λευκά (με τα 46–50 ως γραμμή στέψης των Μαύρων).

Τα εννέα νόμιμα ανοίγματα των Λευκών γράφονται με παύλα (31-26, 31-27, 32-27, 32-28, 33-28, 33-29, 34-29, 34-30, 35-30), ενώ τα φαγώματα με x (όπως 32x21)^[3]. Η «μεγάλη διαγώνιος» ενώνει το τετράγωνο 46 με το 5 περνώντας από 10 σκούρα τετράγωνα· μια ντάμα στο ένα άκρο της διανύει έως και εννέα βήματα με μία κίνηση.

Οι τέσσερις κανόνες που μεταμορφώνουν το φάγωμα και τη στέψη

Όσοι περνούν από το 8×8 στο 10×10 αιφνιδιάζονται λιγότερο από το μέγεθος του ταμπλό και περισσότερο από τη μηχανική του φαγώματος. Οι κλασικές αμφιβολίες που βλέπουμε στους κανόνες της ντάμας που ανάβουν διαφωνίες λύνονται εδώ μέσα από τέσσερις αυστηρές αρχές^[3].

1. Τα απλά πούλια περπατούν μπροστά αλλά τρώνε και προς τα πίσω

Σε ήρεμη κίνηση το απλό πούλι προχωρά μόνο διαγώνια μπροστά κατά ένα τετράγωνο. Μόλις όμως βρεθεί δίπλα σε αντίπαλο πούλι με ελεύθερο το αμέσως επόμενο τετράγωνο στην ίδια διαγώνιο, το υπερπηδά και το τρώει είτε προς τα μπροστά είτε προς τα πίσω^[3]. Κανένα πούλι δεν μένει ασφαλές επειδή προσπέρασε την εχθρική γραμμή: σε πολλαπλό φάγωμα το ίδιο απλό πούλι αλλάζει φορά μπροστά και πίσω σε τροχιά ζιγκ ζαγκ.

2. Η ιπτάμενη ντάμα σε όλη τη διαγώνιο

Όταν ένα απλό πούλι σταματήσει στην απέναντι τελευταία σειρά (1–5 για τα Λευκά, 46–50 για τα Μαύρα), γίνεται ντάμα που τρέχει όλη τη διαγώνιο, δηλαδή ιπτάμενη ντάμα^[3]. Γλιστρά σε όσα κενά τετράγωνα ανοίγονται μπροστά ή πίσω· στο φάγωμα υπερπηδά από απόσταση ένα αντίπαλο πούλι και πατά σε οποιοδήποτε ελεύθερο τετράγωνο πίσω του. Αν από κάποιο τετράγωνο προσγείωσης προκύπτει νέο υποχρεωτικό φάγωμα σε κάθετη διαγώνιο, πρέπει να πατήσει ακριβώς εκεί, να στρίψει σε ορθή γωνία και να συνεχίσει.

3. Ο κανόνας του μέγιστου φαγώματος μετρά ποσότητα, όχι αξία

Το φάγωμα είναι υποχρεωτικό· ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες δυνατές ακολουθίες οφείλεις να διαλέξεις εκείνη που τρώει τα περισσότερα αντίπαλα πούλια^[3]. Η αξία δεν μετρά: μία αντίπαλη ντάμα ισοδυναμεί στο μέτρημα με ένα απλό πούλι. Αν η μία διαδρομή τρώει τρία απλά πούλια και η άλλη δύο ντάμες, πρέπει να φας τα τρία απλά πούλια· ελεύθερη επιλογή έχεις μόνο ανάμεσα σε διαδρομές ίσου μέγιστου αριθμού.

4. Τα φαγωμένα πούλια μένουν ως εμπόδια και το πέρασμα δεν στέφει

Δύο ακόμη λεπτομέρειες κλειδώνουν τη γεωμετρία των συνδυασμών^[3]:

• Αφαίρεση στο τέλος της κίνησης: Όσα αντίπαλα πούλια υπερπηδάς σε πολλαπλό φάγωμα μένουν πάνω στο ταμπλό ως φυσικά εμπόδια μέχρι να ολοκληρωθεί όλη η κίνηση. Επιτρέπεται να περάσεις δεύτερη φορά από το ίδιο κενό τετράγωνο, απαγορεύεται όμως να υπερπηδήσεις δεύτερη φορά το ίδιο αντίπαλο πούλι.
• Το ενδιάμεσο πέρασμα δεν στέφει: Ένα απλό πούλι γίνεται ντάμα μόνο αν τερματίσει την κίνησή του στην τελευταία γραμμή. Αν πατήσει στα τετράγωνα 1–5 ή 46–50 στη μέση ενός φαγώματος και υπάρχει συνέχεια προς τα πίσω, συνεχίζει υποχρεωτικά ως απλό πούλι και μένει αστεφάνωτο — αντίθετα τόσο με τη ρωσική ντάμα 8×8 (όπου στέφεται ακαριαία στη μέση του άλματος) όσο και με την αγγλική 8×8 (όπου η στέψη διακόπτει αμέσως την κίνηση).

Στις ισοπαλίες οι κανονισμοί της Παγκόσμιας Ομοσπονδίας Ντάμας (FMJD) προβλέπουν τριπλή επανάληψη θέσης, όριο 25 διαδοχικών κινήσεων ανά παίκτη (50 ημικινήσεων) αποκλειστικά με ντάμες χωρίς κανένα φάγωμα και χωρίς κίνηση απλού πουλιού, καθώς και όριο 16 κινήσεων στα φινάλε τριών νταμών (ή δύο νταμών και ενός απλού πουλιού, ή μίας ντάμας και δύο απλών πουλιών) απέναντι σε μία μοναχική ντάμα^[3].

Τακτικοί συνδυασμοί και δομές θέσης: από το Coup Royal στο σύστημα Roozenburg

Επειδή ο αντίπαλος υποχρεώνεται να πάρει το μεγαλύτερο φάγωμα, η θυσία στη διεθνή ντάμα λειτουργεί ως ακριβής εξαναγκασμός. Προσφέρεις διαδοχικά δύο ή τρία δικά σου πούλια, οδηγείς τα αντίπαλα σε συγκεκριμένα τετράγωνα και στο τέλος εξαπολύεις ένα κρυμμένο σάρωμα. Στη διεθνή βιβλιογραφία αυτοί οι συνδυασμοί λέγονται coups^[3].

Ο πιο εμβληματικός είναι το Coup Royal («βασιλικό χτύπημα»), που ονόμασε ο Paul Sonier το 1925 και κατέγραψε σε σχεδόν 600 παραλλαγές ο Ολλανδός μετρ Herman de Jongh το 1980^[5][3]. Στηρίζεται στην Ολυμπιακή διάταξη των Λευκών στα τετράγωνα 40 και 45. Τα Λευκά θυσιάζουν συνήθως τρία πούλια στο κέντρο (με μοτίβα γύρω από το 23x34), ώστε πέντε μαύρα πούλια να ευθυγραμμιστούν στα τετράγωνα 34, 24, 14, 13 και 12. Τότε το πούλι από το 40 εκτελεί το πενταπλό φάγωμα 40x29x20x9x18x7^[3]:

1. Υπερπηδά το 34 προς το 29, το 24 προς το 20 και το 14 βαθιά προς το 9.
2. Από το 9, ως απλό πούλι, τρώει προς τα πίσω το μαύρο πούλι στο 13 και πατά στο 18.
3. Από το 18 ξαναστρίβει μπροστά πάνω από το 12 και σταματά στο 7, καθαρίζοντας πέντε μαύρα πούλια με μία κίνηση.

Εξίσου χαρακτηριστικό είναι το Coup Turc («τουρκικό χτύπημα»), που κατέγραψε το 1770 ο Pierre Manoury^[3]. Εδώ θυσιάζεις πούλια ώστε η αντίπαλη ιπτάμενη ντάμα, κυνηγώντας το μέγιστο φάγωμα, να γυρίσει κυκλικά στην ίδια διαγώνιο όπου στέκεται ακόμη το πρώτο πούλι που υπερπήδησε. Αφού απαγορεύεται να το ξαναπηδήσει, το ήδη φαγωμένο πούλι τής φράζει τον δρόμο και την υποχρεώνει να σταματήσει ακριβώς δίπλα σε δικό σου πούλι που την τρώει στην επόμενη κίνηση. Όποιος έχει συνηθίσει την τουρκική ντάμα των καφενείων, όπου κάθε φαγωμένο πούλι σηκώνεται αμέσως από το ταμπλό πριν από το επόμενο άλμα, βλέπει εδώ την αντίστροφη λογική: το φαγωμένο πούλι δουλεύει υπέρ του αμυνόμενου μέχρι να ολοκληρωθεί το τελευταίο άλμα.

Πίσω από κάθε τέτοιο χτύπημα κρύβεται η μακροπρόθεσμη οικονομία του χώρου. Όπως βλέπουμε και στον οδηγό για τον έλεγχο του κέντρου στην ντάμα, καμία τακτική παγίδα δεν πετυχαίνει αν τα πούλια σου είναι σκορπισμένα χωρίς συνοχή· το 10×10 στηρίζεται σε δύο μεγάλες σχολές θέσης^[3]:

• Το κλασικό σύστημα: Τα Λευκά ελέγχουν τα τετράγωνα 27 και 28 απέναντι στα 23 και 24 των Μαύρων, κρατώντας συμπαγείς πυραμίδες εφεδρειών πίσω τους, όπως το ζεύγος 40–45. Όταν οι δύο παρατάξεις κλειδώσουν πρόσωπο με πρόσωπο στο κέντρο, κάθε περιττή προώθηση μετράται με το σταγονόμετρο· κερδίζει όποιος διαχειριστεί καλύτερα το τέμπο των εφεδρικών κινήσεων και αναγκάσει τον αντίπαλο να ανοίξει πρώτος ρήγμα.
• Το σύστημα Roozenburg: Δημιούργημα του Ολλανδού παγκόσμιου πρωταθλητή Piet Roozenburg, ανέτρεψε την παλιά πεποίθηση ότι η εγκατάλειψη του κέντρου οδηγεί αυτόματα σε ήττα. Η μία πλευρά χτίζει προωθημένη τριάδα στα τετράγωνα 24, 27 και 29, ενώ η άλλη απαντά ασύμμετρα από τις πτέρυγες στα τετράγωνα 18, 23 και 25, απειλώντας να σφίξει τον κλοιό γύρω από τα κεντρικά πούλια και να τους στερήσει τα ασφαλή στηρίγματα.

Από την Ολλανδία του 1550 και τα παριζιάνικα καφενεία μέχρι το Ντακάρ

Ο Ολλανδός ιστορικός Arie van der Stoep τεκμηρίωσε το 1984 ότι το ταμπλό 10×10 εμφανίστηκε στην Ολλανδία γύρω στο 1550 και έφτασε τα 20 πούλια ανά πλευρά ανάμεσα στο 1650 και το 1700^[3]. Το 1710 το λεξικό του Pierre Marin στο Άμστερνταμ κατέγραψε την έκφραση damer à la polonoise· την περίοδο 1723–1727 η «πολωνική ντάμα» έγινε μόδα στα καφενεία του Παρισιού, ενώ στις 15 Σεπτεμβρίου 1733 αναφέρθηκε και στο λονδρέζικο The Craftsman^[3].

Ο Pierre Manoury (1728–1814), ιδιοκτήτης καφενείου στην προκυμαία Quai de l’École από το 1766, έδωσε στο παιχνίδι τη γραπτή του γλώσσα: τύπωσε το δοκίμιο Essai το 1770 (122 σελίδες) και το 1787 την πραγματεία Le Jeu de dames à la polonoise (272 σελίδες), καθιερώνοντας την αρίθμηση 1–50 που χρησιμοποιείται αμετάβλητη στα φύλλα αγώνα ως σήμερα^[6][3].

Μετά τα διεθνή τουρνουά του 1885 στη Γαλλία, το Παρίσι φιλοξένησε το 1894 το πρώτο αναγνωρισμένο Παγκόσμιο Πρωτάθλημα στα 100 τετράγωνα, με νικητή τον Γάλλο Isidore Weiss, ο οποίος κράτησε τον τίτλο σε επτά διοργανώσεις επί 18 χρόνια^[3]. Στις 14 Σεπτεμβρίου 1947 τέσσερις ομοσπονδίες — Γαλλίας, Ολλανδίας, Βελγίου και Ελβετίας — ίδρυσαν στο Παρίσι την Παγκόσμια Ομοσπονδία Ντάμας (FMJD), που το 2021 έφτασε τις 77 χώρες-μέλη. Η είσοδος της Σοβιετικής Ένωσης (εθνικό πρωτάθλημα το 1954, πρώτος παγκόσμιος τίτλος του Iser Kuperman το 1958) άνοιξε μια σπουδαία αντιπαλότητα με την ολλανδική σχολή των Ton Sijbrands και Harm Wiersma και ανέδειξε τους δεκάκις παγκόσμιους πρωταθλητές Alexei Chizhov και Alexander Georgiev^[3].

Σχεδόν ταυτόχρονα, το 1959 στο Ντακάρ, ο Γάλλος Émile Biscons γνώρισε τον αυτοδίδακτο Σενεγαλέζο Baba Sy (1935–1978), έναν παίκτη που έβλεπε βαθιούς συνδυασμούς χωρίς να έχει διαβάσει ποτέ ευρωπαϊκή θεωρία ανοιγμάτων^[3]. Το 1960 ο Baba Sy τερμάτισε δεύτερος στο Παγκόσμιο Πρωτάθλημα της Ολλανδίας, το 1962 αντιμετώπισε ταυτόχρονα 150 αντιπάλους σε επίδειξη σιμουλτανέ στη Χάγη και το 1986 η FMJD τού απένειμε μετά θάνατον τον παγκόσμιο τίτλο της περιόδου 1963–1964, αποκαθιστώντας ένα ματς τίτλου που δεν είχε διεξαχθεί ποτέ για πολιτικούς λόγους. Η διαδρομή του άνοιξε τον δρόμο για το Αφρικανικό Πρωτάθλημα Ντάμας το 1980 και καθιέρωσε τη Σενεγάλη, την Ακτή Ελεφαντοστού, το Καμερούν και το Μάλι ανάμεσα στις κορυφαίες δυνάμεις του πλανήτη.

Γιατί λύθηκε το 8×8 αλλά τα 100 τετράγωνα αντιστέκονται στους υπολογιστές;

Αν έχεις διαβάσει πώς το Chinook απέδειξε την ισοπαλία στην αγγλική ντάμα, γνωρίζεις ότι η ομάδα του Jonathan Schaeffer χρειάστηκε 18 χρόνια (1989–2007) και μια βάση φινάλε 39 τρισεκατομμυρίων θέσεων με έως 10 πούλια για να πετύχει την «ασθενή επίλυση» του 8×8: με αλάνθαστο παιχνίδι και από τις δύο πλευρές, η αρχική θέση καταλήγει σε ισοπαλία^[7].

Στο πλαίσιο των τριών βαθμίδων επίλυσης του Victor Allis (1994), τις οποίες εξέτασε ο van den Herik με τους συνεργάτες του το 2002^[1], η διεθνής ντάμα 10×10 ανήκει σε πολύ δυσκολότερη κλίμακα. Ήδη το 1984 ο J. M. Robson απέδειξε ότι η γενικευμένη ντάμα N×N με υποχρεωτικό φάγωμα είναι πρόβλημα EXPTIME-complete, όπου η απαιτούμενη αναζήτηση κλιμακώνεται εκθετικά^[8]. Συγκεκριμένα^[1][9]:

• Χώρος καταστάσεων: Από 10^12 θέσεις στο Σκορ 4 (42 κελιά, λύθηκε το 1988) και 5 × 10^20 στην αγγλική ντάμα 8×8, η διεθνής ντάμα 10×10 ανεβαίνει στο 10^30 — εννέα ως 10 τάξεις μεγέθους παραπάνω.
• Μέσες νόμιμες κινήσεις ανά σειρά: Στην αγγλική ντάμα 8×8 ο μέσος όρος είναι μόλις 2,80 κινήσεις ανά σειρά (μέση διάρκεια 70 ημικινήσεων, δέντρο περίπου 10^40). Στη διεθνή ντάμα 10×10 σχεδόν τριπλασιάζεται στις 8,22 κινήσεις ανά σειρά (μέση διάρκεια 101 ημικινήσεων, ανεβάζοντας το δέντρο παρτίδων από την αρχική εκτίμηση του 10^54 έως το 10^92), ανάμεσα στην κλειστή γεωμετρία του 8×8 και στις 35,00 κινήσεις του σκακιού (64 τετράγωνα, 10^44 θέσεις, δέντρο 10^120–10^123).

Οι εξειδικευμένες βάσεις φινάλε στο 10×10 καλύπτουν σήμερα κάθε θέση με έως εννέα ή 10 πούλια πάνω στο ταμπλό^[7]. Ανάμεσα όμως στα 10 πούλια του φινάλε και στα 40 πούλια της αρχικής παράταξης ανοίγεται τεράστιο υπολογιστικό χάσμα: οι σύγχρονες μηχανές παίζουν σε επίπεδο απλησίαστο για τον άνθρωπο, αλλά κανένας αλγόριθμος δεν έχει καταφέρει να αποδείξει από την πρώτη κίνηση αν το τέλειο παιχνίδι στο 10×10 καταλήγει σε ισοπαλία ή σε εξαναγκασμένη νίκη.

Πού μπορείς να δοκιμάσεις τη διεθνή ντάμα 10×10 και τις συγγενικές παραλλαγές;

Μπορείς να γνωρίσεις στην πράξη το ταμπλό των 100 τετραγώνων μέσα από το Checkers Crown^[10]. Η εφαρμογή και η έκδοση για πρόγραμμα περιήγησης περιλαμβάνουν οκτώ παραλλαγές: αγγλική (8×8), διεθνή (10×10), βραζιλιάνικη (8×8), ρωσική (8×8), ιταλική (8×8), ισπανική (8×8), τουρκική (8×8 ορθογώνια) και pool checkers (8×8)^[2].

Οι τρόποι παιχνιδιού χωρίζονται ξεκάθαρα:

• Βαθμολογημένο παιχνίδι στο ίντερνετ: Όταν ανοίγεις μια παρτίδα ντάμα online, η εύρεση αντιπάλου χρησιμοποιεί ενιαία δεξαμενή με τους κανόνες της αγγλικής ντάμας 8×8 και χρονόμετρο 10 λεπτά + 5 δευτ. ανά κίνηση (10+5), ώστε το ταίριασμα να γίνεται γρήγορα^[11][2].
• Διεθνής ντάμα 10×10 εκτός σύνδεσης: Η διεθνής ντάμα 10×10 — όπως και οι υπόλοιπες επτά παραλλαγές — παίζεται εκτός σύνδεσης εναντίον υπολογιστή ή με δεύτερο παίκτη στην ίδια συσκευή, με αυτόματη εφαρμογή όλων των κανόνων: φάγωμα προς τα πίσω, ιπτάμενη ντάμα, υποχρεωτικό μέγιστο φάγωμα, προσωρινά εμπόδια και μη στέψη σε ενδιάμεσο πέρασμα^[2].

Αν θέλεις ένα σκαλοπάτι μετάβασης πριν περάσεις στα 100 τετράγωνα, δοκίμασε τη βραζιλιάνικη ντάμα (ταμπλό 8×8 με 12 πούλια ανά πλευρά αλλά πλήρεις κανόνες διεθνούς ντάμας)^[2] ή ακολούθησε τη διαδραστική διαδρομή τεσσάρων μαθημάτων για τη διεθνή ντάμα (στα αγγλικά) ώστε να εξοικειωθείς βήμα βήμα με τις μεγάλες διαγωνίους.

Πηγές

1. van den Herik, H. J., Uiterwijk, J. W. H. M., & van Rijswijck, J. (2002). “Games solved: Now and in the future.” Artificial Intelligence, 134(1–2), 277–311.
2. Boardgammon. “Checkers Variants: The Kinds of Draughts Played Around the World.”
3. Wikipedia contributors. “International draughts.” Wikipedia, The Free Encyclopedia.
4. Boardgammon. “Checkers Rules: How to Play, Movement, and Captures.”
5. de Jongh, H. (1980). Le Coup Royal. Fédération Française du Jeu de Dames.
6. Manoury, P. (1787). Le Jeu de dames à la polonoise, ou Traité historique de ce jeu, sa marche, ses règles, leur explication. Paris.
7. Schaeffer, J., Burch, N., Björnsson, Y., Kishimoto, A., Müller, M., Lake, R., Lu, P., & Sutphen, S. (2007). “Checkers Is Solved.” Science, 317(5844), 1518–1522.
8. Robson, J. M. (1984). “N by N checkers is Exptime complete.” SIAM Journal on Computing, 13(2), 252–267.
9. Wikipedia contributors. “Game complexity.” Wikipedia, The Free Encyclopedia.
10. Boardgammon. “Checkers Crown: Play Online Checkers and Regional Draughts Variants.”
11. Boardgammon. “Play Checkers Online: Free Browser and Mobile Draughts.”

Βρήκες λάθος ή κάποια φράση που δεν στέκει; Γράψε μας