الداما الدولية على رقعة 10×10: كيف تغيّر المربعات الـ100 و«الملك الطائر» حسابات اللعبة كلها

يكفي أن تضع رقعة ذات 100 مربع أمام لاعب اعتاد رقعة الـ64 مربعًا حتى يكتشف منذ الدقائق الأولى أنه يدخل لعبةً أخرى في إيقاعها وحساباتها وفخاخها. ففي مقاهي بلاد الشام والعراق والخليج تنصرف كلمة «الداما» تلقائيًا إلى الداما التركية المستقيمة، التي تتحرك فيها 16 قطعة لكل طرف إلى الأمام والجانبين على جميع مربعات الرقعة الـ64. وفي تطبيقات الهواتف يألف كثيرون الداما الإنجليزية القطرية بـ12 قطعة لكل لاعب على 32 مربعًا داكنًا. أما في البطولات العالمية وحلقات اللعب الممتدة من السنغال وموريتانيا وساحل العاج إلى هولندا وفرنسا، فتسود الداما الدولية، أو الضامة الدولية كما تسمّيها المراجع العربية، على رقعة 10×10 تضم 100 مربع و20 قطعة لكل طرف.

لا يقتصر الفارق عن الداما الإنجليزية على إضافة 36 مربعًا و16 قطعة جديدة إلى الميدان. فحين تجتمع المساحة الأوسع مع أربع قواعد حاسمة، وهي الأسر الخلفي للقطعة العادية، و«الملك الطائر» بعيد المدى، وإلزامية أسر العدد الأقصى من القطع، وبقاء القطع المأسورة عوائق مؤقتة حتى نهاية الدور، يقفز فضاء الوضعيات القانونية من نحو 5 × 10^20 وضعية في الداما الإنجليزية (8×8) إلى قرابة 10^30 وضعية في الداما الدولية (10×10)^[1]. وتنتمي هذه اللعبة إلى عائلة واسعة يمكنك استعراض فروعها الثمانية في دليل أنواع الداما، وموازنتها بالتقاليد الشرقية والمتوسطية في مقالة الداما الإيطالية والداما التركية: القواعد والتكتيك.

تفسّر هذه القفزة الهندسية والحسابية سرّين معًا: لماذا تتيح الداما الدولية تضحيات متسلسلة يقدّم فيها اللاعب ثلاث قطع ليكتسح في حركة واحدة خمس قطع للخصم، ولماذا حُلّت الداما الإنجليزية حاسوبيًا عام 2007 فيما بقيت رقعة الـ100 مربع عصيّة على الحل الكامل حتى اليوم.

هندسة المربعات الـ100 وترقيم مانوري من 1 إلى 50

تتألف رقعة الداما الدولية من شبكة 10×10 تضم 100 مربع، ويجري اللعب حصرًا على المربعات الـ50 الداكنة^[2]. وتُوضع الرقعة بين اللاعبين بحيث تكون الزاوية اليسرى السفلية مربعًا داكنًا دائمًا: هو المربع 46 أمام صاحب القطع البيضاء، والمربع 5 أمام صاحب القطع السوداء.

وتخالف الداما الدولية هنا ما يرد في قواعد الداما الإنجليزية في تفصيلين افتتاحيين. أولهما صاحب المبادرة: ففي الداما الإنجليزية على رقعة 8×8 يبدأ الأسود ولديه سبع حركات افتتاحية قانونية، بينما يفتتح الأبيض اللعب دائمًا في الداما الدولية وأمامه تسع حركات افتتاحية قانونية^[2]. وثانيهما كثافة الانتشار؛ إذ يصطفّ لكل لاعب 20 قطعة موزّعة على أربعة صفوف (40 قطعة في المجموع)، ولا يفصل بين الجيشين سوى صفّين فارغين في الوسط يضمّان عشرة مربعات داكنة.

ولتدوين المباريات دون التباس، يعتمد اللاعبون عالميًا نظام الترقيم الذي وضعه صاحب المقهى الباريسي بيير مانوري عامي 1770 و1787^[3]، ويرقّم المربعات الـ50 الداكنة من 1 إلى 50 بدءًا من صف الأسود الخلفي في الأعلى، ومن اليسار إلى اليمين من منظور الأبيض:

• معسكر الأسود (المربعات من 1 إلى 20): تشغل القطع العشرون السوداء الصفوف الأربعة العليا، من صف التتويج الأعلى (من 1 إلى 5) حتى خط الجبهة المتقدم (من 16 إلى 20).
• المنطقة الوسطى الفارغة (المربعات من 21 إلى 30): يتكون الصفان الخامس والسادس من عشرة مربعات داكنة خالية عند البداية، وفيها يشتعل الاشتباك منذ الحركة الأولى.
• معسكر الأبيض (المربعات من 31 إلى 50): تنتشر القطع العشرون البيضاء على الصفوف الأربعة السفلى، من خط الجبهة (من 31 إلى 35) حتى القاعدة الخلفية (من 46 إلى 50).

تُكتب الحركات الهادئة بشرطة بين مربعي الانطلاق والهبوط، فتكون افتتاحيات الأبيض التسع هي: 31-26، و31-27، و32-27، و32-28، و33-28، و33-29، و34-29، و34-30، و35-30^[2]. أما الأسر فيُكتب بحرف التقاطع (مثل 32x23)، ويقطع الرقعة قطر رئيسي طويل («القطر الأكبر») يمتد عشرة مربعات متتالية من المربع 5 إلى المربع 46.

القواعد الأربع التي تقلب حسابات الرقعة

كثيرًا ما تنشب الخلافات الودية حول المائدة حين يجتمع لاعبان تعلّم كل منهما قانونًا محليًا مختلفًا، وهي مواقف استعرضناها في مقالة قواعد الداما التي تشعل الخلافات. غير أن القانون الرسمي للداما الدولية يحسم كل تفصيل بصرامة هندسية تدور حول أربع قواعد مترابطة^[2].

1. الأسر الخلفي للقطعة العادية

في الحركات الهادئة تتقدم القطعة العادية خطوةً قطرية واحدة إلى الأمام نحو مربع خالٍ، ولا تتراجع خطوةً هادئة إلى الوراء أبدًا. لكن متى جاورت قطعةُ الخصم قطعتَك قطريًا وخلا المربع الذي يليها، انفتح الاتجاهان معًا: إذ تأسر القطعة العادية إلى الأمام وإلى الخلف^[2]. وبذلك تفقد القطع المتقدمة الحصانة التي تتمتع بها في الداما الإنجليزية؛ فكل قطعة تتوغل في عمق الرقعة تراقب الاتجاهات القطرية الأربعة حولها، وتستطيع الارتداد خلفًا ثم الانقضاض أمامًا داخل سلسلة قفز واحدة.

2. إلزامية الأسر وقاعدة الأكثرية دون تمييز في الرتبة

الأسر إجباري دائمًا في الداما الدولية؛ فإذا لاحت أمامك أكثر من سلسلة أسر في الدور نفسه، ألزمتك قاعدة الأكثرية باختيار المسار الذي يأسر العدد الأكبر من قطع الخصم^[2]. وبخلاف الداما الإيطالية أو الإسبانية، لا تمنح الداما الدولية امتيازًا لرتبة القطعة في العدّ: فالقطعة العادية والملك سواء عند العدّ؛ فإذا خُيّرت بين أسر ثلاث قطع عادية أو أسر ملكين طائرين، وجب عليك قانونًا أسر القطع الثلاث وترك الملكين، أما إذا تساوى مساران في العدد الأقصى فلك حرية الاختيار بينهما.

3. «الملك الطائر» وشرط الاستقرار على صف التتويج

تغدو القطعة العادية ملكًا حين تبلغ صف التتويج البعيد (من 1 إلى 5 للأبيض، ومن 46 إلى 50 للأسود). وهو ملك طائر ينزلق ويأسر عبر أي عدد من المربعات الخالية على القطر المفتوح، فيعبر القطر الأكبر من 5 إلى 46 بحركة واحدة تمتد تسع خطوات قطرية إذا خلا طريقه^[2]. غير أن القانون يشترط قاعدةً فاصلة: لا تُتوَّج القطعة ملكًا إلا إذا انتهى دورها واستقرّت على صف التتويج^[2]. فإذا هبطت قطعة بيضاء عادية على المربع 3 في منتصف عملية أسر، ووُجدت قطعة سوداء تفرض عليها مواصلة القفز رجوعًا إلى الوراء، أكملت القفزة قطعةً عادية وأنهت دورها بلا تاج؛ على خلاف الداما الروسية التي تتوّج القطعة فور ملامستها الصف الأخير، والداما الإنجليزية التي توقف الدور فور التتويج.

4. بقاء القطع المأسورة عوائق مؤقتة حتى نهاية الدور

في سلاسل الأسر المتعددة لا تُرفع القطع المأسورة عن الرقعة واحدةً تلو الأخرى في أثناء القفز، بل تظلّ واقفةً في مربعاتها حتى تستكمل السلسلة كلها وتستقر قطعتك في مربعها الأخير^[2]. ويترتّب على ذلك حكمان حاسمان: لا يجوز القفز فوق قطعة الخصم نفسها مرتين في الدور الواحد، ولا يجوز الهبوط في مربع قطعةٍ قُفز فوقها من قبل أو تخطّيها كأن مربعها قد خلا؛ إذ تبقى «عائقًا مؤقتًا» يقيّد مسار الملك الطائر حتى ينتهي الدور وتُرفع القطع المأسورة معًا.

أما التعادل الرسمي فيقع بتكرار الوضعية نفسها ثلاث مرات مع بقاء الدور للاعب ذاته، أو بعد 25 حركة متتالية لكل لاعب (50 نصف حركة) تتحرك فيها الملوك وحدها دون أسر أو تقدم لقطعة عادية، فضلًا عن سقوف النهايات في البطولات مثل سقف 16 حركة حين يواجه ثلاثة ملوك (أو ملكان وقطعة، أو ملك وقطعتان) ملكًا وحيدًا^[2].

فن التضحية المتسلسلة: «الضربة الملكية» و«الضربة التركية» وبناء المراكز

في الشطرنج يملك الخصم غالبًا حق رفض التضحية؛ أما في الداما الدولية فتحوّل إلزامية الأسر وقاعدة الأكثرية التضحيةَ إلى إكراه هندسي، إذ تدفع بقطعة إلى مربع محسوب فتجبر خصمك على القفز، ثم تتبعها بثانية وثالثة حتى تصطفّ قطعه هو أمام ضربة كاسحة واحدة.

«الضربة الملكية» (Coup Royal) والقفزة الخلفية الحاسمة

لا تجسّد توليفةٌ روحَ الداما الدولية مثل «الضربة الملكية»، التي سمّاها بول سونييه عام 1925 وجمع الأستاذ الهولندي هيرمان دي يونغ قرابة 600 تفريع لها في كتابه الصادر عام 1980^[4]. وتنطلق الضربة من ثنائي التشكيل الأولمبي على المربعين 40 و45 في جناح الأبيض الأيمن، إذ تسند القطعة الخلفية على 45 زميلتها على 40^[2].

يمهّد الأبيض للضربة بالتضحية بثلاث قطع متتالية (عبر أنماط المربعين 23 و34) ليستدرج خمس قطع سوداء إلى المربعات 34 و24 و14 و13 و12 مع تفريغ مربعات الهبوط البينية. وعندئذٍ تنطلق القطعة العادية المتمركزة على 40 في مسار متعرج يخطف القطع الخمس دفعةً واحدة وفق التدوين 40x29x20x9x18x7^[2]:

1. تقفز القطعة البيضاء أمامًا من 40 فوق 34 إلى 29، ثم فوق 24 إلى 20، ثم فوق 14 إلى المربع 9.
2. ومن المربع 9 ترتدّ القطعة العادية بالأسر الخلفي فوق القطعة السوداء على 13 لتهبط في المربع 18.
3. ومن المربع 18 تعاود القفز أمامًا فوق القطعة الخامسة على 12 لتستقر في المربع 7 على بُعد خطوة واحدة من التتويج، ثم تُرفع القطع الخمس عن الرقعة معًا.

وتستثمر توليفة كلاسيكية أخرى سمّاها مانوري «الضربة التركية» عام 1770 قاعدة العائق المؤقت بذكاء باهر^[2]: يقدّم اللاعب قطعًا متتالية يجبر بها ملك الخصم الطائر، بحكم قاعدة الأكثرية، على الدوران حول الرقعة حتى يصطدم مساره الأخير بأول قطعة قفز فوقها ولا تزال واقفةً في مكانها. ولأن القانون يمنعه من القفز فوقها ثانيةً أو تخطّيها، يضطر الملك الطائر إلى التوقف في المربع الملاصق لها مباشرةً أمام قطعة عادية متربّصة تلتقط الملك وبقية جيشه.

ما وراء التكتيك: النسق الكلاسيكي ونسق روزنبورغ

لا تولد هذه الضربات من فراغ، بل من بناءٍ استراتيجي طويل الأمد يذكّر بمبادئ استراتيجية لعبة الداما والسيطرة على المركز ولكن على رقعة أرحب وأبطأ تشابكًا. وتتصدر نظرية وسط اللعب مدرستان^[2]: النسق الكلاسيكي القائم على السيطرة المتناظرة عبر وتدي 27 و28 للأبيض مقابل 23 و24 للأسود بإسناد التشكيل الأولمبي (40 و45)، ونسق روزنبورغ الذي ابتكره بطل العالم الهولندي بيت روزنبورغ عبر توتر غير متناظر بين السلسلة الهجومية (24 و27 و29) والانتشار المضاد على الجناح المقابل (18 و23 و25).

من أسواق هولندا ومقاهي باريس إلى معجزة بابا سي في غرب أفريقيا

يرجّح مؤرخ الداما الهولندي آري فان دير ستوب في دراسته عام 1984 ظهور رقعة 10×10 في الأراضي الهولندية قرابة عام 1550، قبل أن يستقر عدد القطع عند 20 قطعة لكل لاعب (40 في المجموع) بين عامي 1650 و1700^[2]. وفي مطلع القرن الثامن عشر اشتهرت في أوروبا باسم «الداما البولندية»؛ فوثّقها قاموس بيير ماران في أمستردام عام 1710، وانتشرت في مقاهي باريس بين عامي 1723 و1727، وذكرتها صحيفة «ذا كرافتسمان» اللندنية في 15 سبتمبر (أيلول) 1733^[2].

وفي باريس حوّل بيير مانوري (عاش من 1728 إلى 1814)، صاحب المقهى الشهير على رصيف ليكول منذ عام 1766 الذي كان ملتقى أدباء العصر، خبرة المقاهي إلى علم مدوَّن؛ فأصدر رسالته الأولى في 122 صفحة عام 1770، ثم مؤلّفه المرجعي في 272 صفحة عام 1787^[3]، مثبّتًا ترقيم المربعات من 1 إلى 50 وأسماء الضربات التكتيكية الكبرى.

وبعد دورات دولية مبكرة في فرنسا عام 1885، استضافت باريس عام 1894 أول بطولة عالم معترف بها، وفاز بها الفرنسي إيزيدور فايس الذي احتفظ باللقب عبر سبع بطولات طوال 18 عامًا^[2]. وفي 14 سبتمبر 1947 أسّست أربعة اتحادات وطنية في باريس (فرنسا وهولندا وبلجيكا وسويسرا) الاتحاد العالمي للداما (FMJD)، الذي نما ليضم 77 اتحادًا وطنيًا بحلول عام 2021. ثم أطلق الاتحاد السوفيتي بطولته الوطنية عام 1954 وتوِّج إيسر كوبرمان ببطولة العالم عام 1958، لتشتعل منافسة عقود طويلة بين عمالقة المدرسة السوفيتية والروسية مثل أليكسي تشيجوف وألكسندر غيورغييف (عشرة ألقاب عالمية لكل منهما) وبين أبطال هولندا تون سايببراندز وهارم فيرسما.

وفي الوقت نفسه، أهدت داكار للعالم عبقرية الأستاذ الكبير السنغالي بابا سي (عاش من 1935 إلى 1978)^[2]. اكتُشف بابا سي في السنغال عام 1959 موهبةً فطرية لم تدرس الكتب الأوروبية، فأذهل النخبة بحلوله وصيفًا لبطل العالم عام 1960، وخاض في هولندا عام 1962 عرضًا للّعب المتزامن على 150 رقعة، ثم منحه الاتحاد العالمي عام 1986، بعد رحيله، لقب بطولة العالم لعامي 1963 و1964. ومن إرثه انطلقت البطولة الأفريقية للداما عام 1980، فغدت الضامة الدولية رياضةً ذهنية أولى تمتد من السنغال وساحل العاج ومالي والكاميرون حتى موريتانيا والمغرب العربي.

لماذا حُلّت الداما الإنجليزية وبقيت الداما الدولية عصيّة على الحل الحاسوبي؟

حين يُقال إن الحاسوب «حلّ لعبة الداما»، فالمقصود حصرًا الداما الإنجليزية على رقعة 8×8. وكما شرحنا في مقالة هل الداما الإنجليزية محلولة رياضيًا؟، أنجز جوناثان شيفر وفريق برنامج «تشينوك» عام 2007، بعد 18 عامًا من الحساب المتواصل منذ عام 1989 وبناء قاعدة نهايات تضم 39 تريليون وضعية لعشر قطع أو أقل، برهانًا يثبت أن اللعب الأمثل من الطرفين ينتهي بالتعادل^[5].

أما الداما الدولية من وضعية البداية ذات الـ40 قطعة فما تزال بعيدة عن الحل؛ وقد برهن جي إم روبسون عام 1984 أن الداما المعمَّمة على رقعة N × N مع إلزامية الأسر كاملةُ التعقيد الأُسّي (EXPTIME-complete)^[6]. ووفق مستويات الحل الثلاثة التي صاغها فيكتور أليس عام 1994 واستعرضها فان دن هيريك وأويترويك وفان رايسفايك عام 2002^[1] مع القياسات اللاحقة عام 2017^[7]، يتجلّى الفارق الحاسم في الأرقام:

• أربعة على التوالي (Connect Four): تضم 42 خلية بفضاء حالات 10^12 ومتوسط تفرع يبلغ أربع حركات في الدور، وقد حُلّت عام 1988.
• الداما الإنجليزية (8×8، على 32 مربعًا داكنًا): تضم نحو 5 × 10^20 وضعية، بمتوسط طول 70 نصف حركة ومعامل تفرع لا يتجاوز 2.8 حركة في الدور (شجرة لعب تناهز 10^40).
• الداما الدولية (10×10، على 50 مربعًا داكنًا): يقفز فضاء الحالات بتسع مراتب عشرية إلى عشر مراتب ليبلغ نحو 10^30 وضعية (وتصل تقديرات الحد الأعلى إلى 5.4 × 10^31)^[1]، ويمتد متوسط الشوط إلى 101 نصف حركة، بينما يتضاعف معامل التفرع قرابة ثلاث مرات ليبلغ 8.22 حركة في كل دور، رافعًا شجرة اللعب من التقدير الأولي 10^54 إلى نحو 10^92^[7].
• الشطرنج (8×8، على 64 مربعًا): يبلغ متوسط التفرع فيه 35 حركة في الدور، بفضاء حالات 10^44 وشجرة لعب بين 10^120 و10^123^[7].

لذلك حتى بعدما بلغت قواعد بيانات النهايات المتخصصة في رقعة 10×10 كل وضعية تضم تسع قطع أو عشر قطع^[5]، يظلّ الجسر الحسابي الفاصل بين عشر قطع و40 قطعة عند ضربة البداية أوسع من قدرة الحصر الحاسوبي الشامل.

أين تلعب الداما الدولية وتستكشف شقيقاتها في Checkers Crown؟

سواء أبدأتَ بالداما التركية المستقيمة في مقاهي المشرق والخليج أم بالداما الإنجليزية السريعة، فإن لعبة الداما في Checkers Crown تجمع ثمانية أنواع إقليمية وعالمية كاملة القوانين: الداما الإنجليزية (8×8)، والداما الدولية (10×10)، والداما البرازيلية (8×8)، والداما الروسية (8×8)، والداما الإيطالية (8×8)، والداما الإسبانية (8×8)، والداما التركية (8×8)، وداما Pool على رقعة 8×8^[8].

ونفصل في التطبيق بين وضعين واضحين ليبقى كل منهما عمليًا وسريعًا:

• المباريات المصنّفة على الإنترنت: تعمل المطابقة المصنّفة في طابور موحّد يعتمد الداما الإنجليزية بضبط زمني قدره 10+5 (عشر دقائق مع إضافة خمس ثوانٍ لكل حركة)، حتى يجد اللاعبون مباريات متكافئة بسرعة من دون تشتيت الطوابير بين ثمانية قوانين^[8].
• الداما الدولية والأنواع الإقليمية بلا اتصال: تتوافر الداما الدولية على رقعة 10×10 بكامل قواعدها الرسمية، من الأسر الخلفي وقاعدة الأكثرية إلى الملك الطائر وشرط الاستقرار على صف التتويج، للّعب دون اتصال ضد الكمبيوتر أو للّعب الودي بين لاعبين اثنين على جهاز واحد، إلى جانب مسار تعليمي تفاعلي من أربعة دروس يشرح أساسياتها خطوةً بخطوة^[8]. وإن رغبت في تمهيدٍ أخفّ قبل زحام الـ40 قطعة، فجرّب الداما البرازيلية التي تطبّق قوانين الداما الدولية ذاتها على رقعة 8×8.

افتح الآن لعبة الداما مجانًا في المتصفح، واختر الداما الدولية على رقعة 10×10، وراقب منذ الحركات العشر الأولى كيف يتحوّل كل قطر مفتوح وكل قطعة متقدمة إلى شبكة حسابات حيّة لا تشبه أي شوط لعبته على رقعة 8×8 من قبل.

المصادر

1. van den Herik, H. J., Uiterwijk, J. W. H. M., & van Rijswijck, J. (2002). “Games solved: Now and in the future.” Artificial Intelligence, 134(1–2), 277–311.
2. Wikipedia contributors. “International draughts.” Wikipedia, The Free Encyclopedia.
3. Manoury, P. (1787). Le Jeu de dames à la polonoise, ou Traité historique de ce jeu, sa marche, ses règles, leur explication. Paris.
4. de Jongh, H. (1980). Le Coup Royal. Fédération Française du Jeu de Dames.
5. Schaeffer, J., Burch, N., Björnsson, Y., Kishimoto, A., Müller, M., Lake, R., Lu, P., & Sutphen, S. (2007). “Checkers Is Solved.” Science, 317(5844), 1518–1522.
6. Robson, J. M. (1984). “N by N checkers is Exptime complete.” SIAM Journal on Computing, 13(2), 252–267.
7. Wikipedia contributors. “Game complexity.” Wikipedia, The Free Encyclopedia.
8. Boardgammon. “Checkers Variants: The Kinds of Draughts Played Around the World.”
9. Boardgammon. “Checkers Crown: Play Online Checkers and Regional Draughts Variants.”
10. Boardgammon. “Checkers Rules: How to Play, Movement, and Captures.”
11. Boardgammon. “Play Checkers Online: Free Browser and Mobile Draughts.”

وجدتَ خطأً أو عبارة ركيكة؟ راسلنا