דמקה בינלאומית על לוח 10×10: החוקים, המלך המעופף ולמה 100 משבצות משנות הכול

כמעט כל משחק דמקה בסלון ישראלי או על שולחן מתקפל במילואים נעצר סביב אותה שלישיית שאלות: ״מותר לחייל לאכול אחורה?״, ״המלך טס עד קצה האלכסון או צועד משבצת אחת?״ ו״שרוף — שכחת לאכול אז האבן שלך יורדת מהלוח?״. הבלבול הזה לא מקרי. בישראל אין משחק ביתי אחד בשם ״דמקה״, אלא מפגש בין מסורות: מצד אחד לוח 8×8 המוכר מהדמקה האנגלית, ומצד שני אכילה אחורה ומלך מעופף שהביאו שחקנים ומאמנים מיוצאי ברית המועצות ששיחקו דמקה רוסית.

כשנכנסים למועדון תחרותי בישראל, בהולנד, בצרפת או בסנגל, הלוח שעל השולחן אחר לגמרי. שם משחקים דמקה בינלאומית (המוכרת גם בשם דמקה 100, ובעבר בשם ״דמקה פולנית״) — הענף הרשמי של אליפויות העולם. כשמשווים את גרסאות הדמקה שמשחקים בעולם, המעבר מ־64 משבצות ל־100 נראה במבט ראשון כמו הרחבה כמותית פשוטה, אבל השילוב בין לוח 10×10 לארבעה חוקי אכילה והכתרה קשיחים יוצר משחק שונה מהיסוד.

הפער הזה הוא עובדה מתמטית מדודה. בסקירה המדעית שפרסמו יאפ ואן דן הריק (Jaap van den Herik), יוס אויטרווייק (Jos Uiterwijk) וג׳ק ואן רייסווייק (Jack van Rijswijck) בשנת 2002 בכתב העת Artificial Intelligence, הראו החוקרים שמספר העמדות החוקיות מזנק מכ־5 כפול 10 בחזקת 20 בדמקה אנגלית על לוח 8×8 לכ־10 בחזקת 30 בדמקה בינלאומית — פער של תשעה עד עשרה סדרי גודל^[1]. מי שמכיר את חוקי הדמקה שמעוררים ויכוחים סביב השולחן הביתי מגלה שבלוח של 100 משבצות כל חוק כתוב כך שיכפה חישוב עמוק ותחבולות חוצות־לוח.

מה משתנה כשעוברים מלוח 8×8 ללוח של 100 משבצות?

השינוי המיידי הוא גאומטריית המרחב והזמן על הלוח. בדמקה בינלאומית משחקים על לוח של 10×10 משבצות (100 משבצות בסך הכול), וכל המהלכים מתנהלים אך ורק על 50 המשבצות הכהות^[2]. לפני שמניחים כלי ראשון, בודקים את כיוון הלוח: הפינה השמאלית התחתונה חייבת להיות משבצת כהה — משבצת 46 מצד הלבן, ומשבצת 5 מצד השחור. אם הפינה השמאלית התחתונה בהירה, האלכסון הראשי הארוך מתהפך ומספור העמדות נשבר.

כל שחקן פותח עם 20 כלים (40 כלים על הלוח כולו) המסודרים על המשבצות הכהות בארבע השורות הקרובות אליו: השחור במשבצות 1–20, והלבן במשבצות 31–50. במרכז נשארות שתי שורות ריקות — שורות 5 ו־6, משבצות 21–30, שהן עשר משבצות כהות פנויות. לעומת חוקי הדמקה האנגלית, שבהם משחקים על 32 משבצות כהות מתוך 64 עם 12 כלים לכל צד בשלוש שורות^[3], הלוח הבינלאומי מוסיף 36 משבצות (מהן 18 כהות) ו־16 כלים.

גם זכות המהלך הראשון מתהפכת. בדמקה אנגלית השחור פותח עם שבעה מהלכי פתיחה חוקיים בלבד; בדמקה בינלאומית הלבן פותח תמיד, ועומדים לרשותו תשעה מהלכי פתיחה חוקיים: 31-26, 31-27, 32-27, 32-28, 33-28, 33-29, 34-29, 34-30 ו־35-30^[2]. ארבע השורות המלאות מאחור מעניקות לכל צד עומק עתודה שאין בלוח 8×8: כשכלי קדמי מוקרב, שלוש שכבות מאחוריו עדיין שומרות על המבנה ומונעות פריצה מהירה לשורת ההכתרה.

הטבלה מראה מדוע הדמקה הבינלאומית מוכרת וזרה בו־זמנית לשחקן הישראלי. הדמקה הברזילאית שואלת בשלמותם את חוקי ה־10×10 ומכווצת אותם ללוח 8×8, ואילו הדמקה הרוסית חולקת את האכילה אחורה ואת המלך המעופף אך מוותרת על כלל הרוב ומכתירה כלים תוך כדי אכילה. לעומתן, ענפים כמו דמקה איטלקית ודמקה טורקית פונים לכיוון אחר לגמרי: בדמקה הטורקית, למשל, משחקים עם 16 כלים לכל צד (בשורות 2 ו־3) שנעים ישר קדימה והצידה על כל 64 המשבצות בלי אלכסונים.

ארבעת החוקים שהופכים כל מסע אכילה לחידה טקטית

ארבעה חוקים שלובים מגדירים את הדמקה הבינלאומית לפי תקנון הפדרציה העולמית לדמקה (FMJD)^[2]. יחד הם הופכים את הלוח לרשת דרוכה של קפיצות כפויות.

1. כלי רגיל צועד רק קדימה, אבל אוכל גם לאחור

כשאין אכילה על הלוח, כלי רגיל נע משבצת אחת באלכסון קדימה אל משבצת כהה פנויה. ברגע שכלי יריב ניצב במשבצת אלכסונית סמוכה ומאחוריו משבצת כהה ריקה, הכלי הרגיל אוכל אותו בקפיצה מעליו הן בשני האלכסונים הקדמיים והן בשני האלכסונים האחוריים. המשמעות המיידית: בדמקה בינלאומית אין ״גב בטוח״. כל כלי שחודר עמוק בלי תמיכה חשוף לאכילה מאחור.

2. חובת אכילה מוחלטת וכלל הרוב הכמותי

בחוקים הביתיים מוכר המנהג של ״שרוף״, שבו יריב שפספס אכילה מאבד את הכלי שלו כעונש. בדמקה בינלאומית רשמית אי אפשר לפסוח על אכילה מלכתחילה: מהלך שאינו אוכל כשקיימת אכילה חוקית פשוט אינו חוקי.

מעבר לכך חל כלל הרוב: כשעומדים בפניכם שני מסלולי אכילה או יותר, חובה לבחור במסלול שאוכל את מספר הכלים הגדול ביותר. החוק סופר כמות טהורה ולא דרגה: מלך שווה בספירה בדיוק כלי רגיל אחד. אם כלי אחד שלכם יכול לאכול שני מלכים של היריב, וכלי אחר יכול לאכול שלושה כלים רגילים, חובה לאכול את שלושת הכלים הרגילים ולהשאיר את שני המלכים על הלוח. רק כששני מסלולים אוכלים אותו מספר מרבי של כלים מותר לבחור ביניהם.

3. הכלים שנאכלו נשארים כ״פקקים״ עד סוף התור

ברצף של אכילה מרובה לא מרימים מהלוח את הכלים שנאכלו תוך כדי הקפיצות, אלא משאירים את כולם במקומם ומסירים אותם רק אחרי שהכלי האוכל נחת במשבצת האחרונה בתורו. לכלל הזה שתי השלכות חדות:

• אסור לקפוץ מעל אותו כלי יריב פעמיים באותו תור, גם אם מסלול הזיגזג חוזר לסביבתו.
• כלי שכבר נאכל באותו תור ממשיך לעמוד כ״פקק״ פיזי וחוסם את המשך האלכסון עד סוף התור.

4. המלך המעופף ומלכודת המעבר בשורת ההכתרה

כאשר כלי רגיל מסיים את תורו בשורה האחרונה של היריב (משבצות 1–5 ללבן, או 46–50 לשחור), מכתירים אותו למלך (ויש שקוראים לו מלכה), ובשמו המדויק: מלך מעופף. המלך המעופף נע באלכסון קדימה ואחורה על פני כל מספר של משבצות ריקות רצופות, עד תשעה צעדים לאורך האלכסון הראשי בן עשר המשבצות המחבר בין משבצת 5 למשבצת 46. באכילה הוא מזנק מרחוק מעל כלי יריב כל עוד הדרך אליו פנויה ולפחות משבצת אחת אחריו ריקה — ואם מאחת ממשבצות הנחיתה נפתחת אכילה נוספת בניצב, עליו לנחות במשבצת שממקסמת את סך הכלים שייאכלו בתור כולו.

כאן מסתתר הסייג הקריטי ביותר: מעבר זמני בשורת ההכתרה באמצע אכילה אינו מכתיר את הכלי. אם כלי לבן קופץ באכילה למשבצת 3 או 4 בשורה האחרונה של השחור, וממנה יש לו המשך אכילה חוקי אחורה ככלי רגיל, הוא חייב להמשיך לקפוץ אחורה ככלי רגיל — ובסיום התור הוא נשאר כלי רגיל ולא מלך. רק כלי שעוצר בשורת ההכתרה בסוף התור זוכה בכתר.

חוקי התיקו קפדניים באותה מידה: תיקו נקבע בחזרה משולשת על אותה עמדה, או אחרי 25 מהלכים רצופים של כל שחקן (50 חצאי־מהלכים) שבהם נעו מלכים בלבד בלי אכילות ובלי מסע של כלי רגיל. בסיומי תחרויות חלה גם מגבלת 16 המהלכים כששלושה מלכים (או שני מלכים וכלי רגיל, או מלך ושני כלים רגילים) מתמודדים מול מלך בודד^[2].

איך קוראים את מספור מנוורי ואיך נראית תחבולת ״קו רויאל״?

כדי לתעד תחבולות ארוכות בלי לטעות במשבצת, שחקני דמקה בינלאומית משתמשים מאז המאה ה־18 במספור מנוורי, הממספר את 50 המשבצות הכהות מ־1 עד 50. מצד הלבן, שורת הבסיס של השחור למעלה ממוספרת משמאל לימין 1 עד 5, השורה הבאה 6 עד 10, וכן הלאה (חמש משבצות כהות בכל שורה) עד שורת הבסיס של הלבן הממוספרת 46 עד 50. מסע שקט נרשם במקף (32-28), ואכילה באות x (כמו 40x29).

חובת האכילה וכלל הרוב אינם מגבילים את היצירתיות בלוח ה־10×10 — הם המנוע שלה. בדמקה בלי חובת רוב, יריב שמזהה מלכודת בוחר באכילה קצרה ובטוחה. בדמקה בינלאומית אפשר להכריח את היריב לפתוח חורים בעורף באמצעות הקרבה מדורגת.

הדוגמה המפורסמת ביותר היא ״קו רויאל״ (Coup Royal), ״המכה המלכותית״. את השם טבע הצרפתי פול סונייה (Paul Sonier) ב־1925, והאמן ההולנדי הרמן דה יונג (Herman de Jongh) קטלג קרוב ל־600 הסתעפויות שלה בספרו Le Coup Royal משנת 1980^[4]. נקודת המוצא היא לרוב המבנה האולימפי: צמד כלים לבנים במשבצות 40 ו־45 המכוונים כקפיץ דרוך אל מרכז הלוח.

בשלב המכין מקריב הלבן שלושה כלים בזה אחר זה (למשל סביב חילופי 23x34), ומאלץ את כלי השחור להתייצב בדיוק במשבצות הקפיצה החסרות עם משבצת פנויה ביניהם. ואז פורץ הכלי הלבן ממשבצת 40 במסלול הזיגזג 40x29x20x9x18x7 ואוכל חמישה כלים שחורים בתור אחד^[2].

לב התחבולה מתרחש בקפיצה הרביעית: הכלי הלבן אוכל קדימה מ־40 ל־29 (מעל 34), ממשיך מ־29 ל־20 (מעל 24), ומ־20 ל־9 (מעל 14). בדמקה אנגלית המסע היה מסתיים במשבצת 9. בדמקה בינלאומית הכלי הרגיל במשבצת 9 קופץ אחורה ל־18 מעל הכלי השחור ב־13, ומזנק שוב קדימה מ־18 ל־7 מעל הכלי ב־12. כל חמשת הכלים השחורים מוסרים יחד בסיום הנחיתה ב־7.

תחבולה קלאסית שנייה מנצלת את חוק ה״פקקים״: ״המכה הטורקית״ (Coup Turc), שתיעד פייר מנוורי כבר ב־1770^[2]. כאן מקריבים כלים כך שמלך מעופף של היריב נאלץ מכוח כלל הרוב לצאת לסיבוב אכילה ארוך ולחזור לאותו אלכסון שבו כבר אכל כלי בתחילת התור. מכיוון שהכלי שנאכל עדיין ניצב במקומו כ״פקק״ ואסור לקפוץ מעליו פעמיים, המלך המעופף נבלם משבצת אחת לפניו — ישר מול כלי רגיל שממתין לו ואוכל אותו.

מתחת לתחבולות האלה צמחה תורת עמדות עשירה. מי שמכיר אסטרטגיה בדמקה ושליטה במרכז הלוח מלוח ה־8×8 יפגוש בלוח ה־10×10 מערכים שלמים^[2]:

• המערך הקלאסי (Partie Classique): שני הצדדים מחזיקים מאחזים סימטריים בלב הלוח (הלבן במשבצות 27 ו־28 מול השחור ב־23 ו־24), ונאבקים על קצב המסעים העודפים ועל המבנה האולימפי ב־40 ו־45 עד שאחד הצדדים נאלץ לפתוח אלכסון.
• מערך רוזנבורג (Partie Roozenburg): נקרא על שם אלוף העולם ההולנדי פיט רוזנבורג (Piet Roozenburg), ובו צד אחד בונה טריז התקפי במשבצות 24, 27 ו־29 מול מערך כיתור של היריב במשבצות 18, 23 ו־25 — מאבק א־סימטרי בין שליטה במרכז לכיתור מהאגפים.

למה מחשבים פתרו את לוח ה־8×8 וטרם פיצחו את הדמקה הבינלאומית?

בעבודת הדוקטורט של ויקטור אליס (Victor Allis) מ־1994, שנסקרה במחקרם של ואן דן הריק ועמיתיו מ־2002, הוגדרו שלוש דרגות לפתרון מתמטי של משחק סופי^[1]:

1. פתרון אולטרה־חלש: הוכחת התוצאה התאורטית מעמדת הפתיחה בלי לפרט את סדרת המהלכים.
2. פתרון חלש: אלגוריתם שמשיג בפועל את התוצאה המושלמת מעמדת הפתיחה מול כל יריב.
3. פתרון חזק: מענה מושלם ומחושב מראש מכל עמדה חוקית אפשרית על הלוח.

כבר ב־1984 הוכיח ג׳ון מייקל רובסון (J. M. Robson) בכתב העת SIAM Journal on Computing שהכללת דמקה עם חובת אכילה ללוח בגודל N×N היא בעיה ממחלקת EXPTIME-complete^[5]: הגדלת הלוח מקפיצה את זמן החישוב במקרה הגרוע בקצב מעריכי. בדמקה אנגלית (8×8) המאמץ הזה עוד היה אפשרי: צוות תוכנת צ׳ינוק בהובלת ג׳ונתן שפר (Jonathan Schaeffer) חישב במשך 18 שנים (1989–2007) מסד סיום של 39 טריליון עמדות עד 10 כלים, והציג ב־2007 בכתב העת Science פתרון חלש שקבע כי משחק מושלם מסתיים בתיקו^[6] — כפי שתיארנו בכתבה האם דמקה נפתרה מתמטית.

בדמקה בינלאומית המחסום גבוה לאין שיעור, בגלל השילוב בין מרחב המצבים לגורם ההסתעפות — ממוצע המהלכים החוקיים בכל תור^[7].

ב״ארבע בשורה״ (42 תאים, כ־10 בחזקת 12 מצבים, נפתר ב־1988) ממוצע המהלכים לתור הוא 4.00. בדמקה אנגלית (8×8) חובת האכילה מצמצמת את הבחירה ל־2.80 מהלכים לתור לאורך משחק ממוצע של כ־70 חצאי־מהלכים (עץ משחק של כ־10 בחזקת 40). בדמקה בינלאומית (10×10), 20 הכלים לכל צד והמלכים המעופפים מזניקים את גורם ההסתעפות ל־8.22 מהלכים חוקיים לתור, כמעט פי שלושה מבדמקה אנגלית, לאורך משחק ממוצע של כ־101 חצאי־מהלכים^[7].

לצד מרחב מצבים של כ־10 בחזקת 30 עמדות (ועד 5.4 כפול 10 בחזקת 31 באומדני גבול עליון), עץ המשחק של דמקה בינלאומית (שהוערך אצל אליס בכ־10 בחזקת 54) מגיע לפי המדידות האמפיריות מ־2017 עד כ־10 בחזקת 92^[7], לעומת 35.00 מהלכים לתור, 10 בחזקת 44 מצבים ועץ של 10 בחזקת 120 עד 10 בחזקת 123 בשחמט (8×8). גם עם מסדי סיום של 9 או 10 כלים בדמקה 10×10, הפער עד לעמדת הפתיחה בת 40 הכלים רחב מכדי שאפשר יהיה לגשר עליו בחיפוש ממצה^[6]. ההנחה המקובלת היא שמשחק מושלם מוביל לתיקו, אך מעמדת הפתיחה הדבר טרם הוכח.

מבתי הקפה של פריז ועד דקאר: איך הפכה ״הדמקה הפולנית״ למשחק עולמי?

למרות שמה הישן ״דמקה פולנית״, שורשי הדמקה הבינלאומית מתועדים בהולנד ובצרפת^[2]. ההיסטוריון ההולנדי ארי ואן דר סטופ (Arie van der Stoep) הראה במחקרו מ־1984 שלוח 10×10 הופיע בארצות השפלה סביב 1550, ומספר הכלים עלה ל־20 לכל צד בין 1650 ל־1700. בראשית המאה ה־18 התפשט המשחק כ״דמקה בסגנון פולני״ (jeu de dames à la polonoise): המילונאי פייר מארן (Pierre Marin) תיעד את הביטוי באמסטרדם ב־1710, בשנים 1723–1727 כבש המשחק את בתי הקפה של פריז, וב־15 בספטמבר 1733 כבר הוזכר בעיתון הלונדוני The Craftsman.

מי שהפך אותו לענף מתועד היה פייר מנוורי (Pierre Manoury) (1728–1814), שניהל מ־1766 בית קפה נודע ב״קה דה ל׳אקול״ (Quai de l’École) בפריז. ב־1770 פרסם מסה בת 122 עמודים, וב־1787 הוציא את חיבורו המלא בן 272 העמודים, Le Jeu de dames à la polonoise^[8], שבו קבע את המספור מ־1 עד 50 המשמש בטופסי תחרויות עד היום.

אחרי טורנירים בינלאומיים בצרפת ב־1885 נערכה בפריז ב־1894 אליפות העולם המוכרת הראשונה בלוח 100 משבצות, ובה זכה הצרפתי איזידור וייס (Isidore Weiss), שהחזיק בתואר בשבע אליפויות לאורך 18 שנים^[2]. ב־14 בספטמבר 1947 ייסדו בפריז ארבע התאחדויות לאומיות (צרפת, הולנד, בלגיה ושווייץ) את הפדרציה העולמית לדמקה (FMJD), שצמחה עד 2021 ל־77 התאחדויות חברות.

ב־1954 ייסדה ברית המועצות אליפות לאומית בלוח 100 משבצות, וב־1958 זכה איזר קופרמן (Iser Kuperman) בתואר העולמי הראשון שלה. כך נפתחה יריבות בת עשרות שנים בין אלופי הולנד, ובראשם טון סייברנדס (Ton Sijbrands) והארם וירסמה (Harm Wiersma), לבין האסכולה הסובייטית והרוסית שהצמיחה את אלכסיי צ׳יז׳וב (Alexei Chizhov) ואלכסנדר גאורגייב (Alexander Georgiev) — כל אחד מהם עם עשרה תוארי אליפות עולם. שחקנים ומאמנים שעלו מברית המועצות הביאו איתם את המסורת הזאת גם למועדונים בישראל.

במקביל פרחה במערב אפריקה מסורת מפוארת בזכות באבא סי (Baba Sy) מסנגל (1935–1978)^[2]. סי, אוטודידקט מדקאר שהתגלה ב־1959, זכה במקום השני באליפות העולם של 1960, שיחק ב־1962 סימולטנית מול 150 לוחות בהולנד, וב־1986 הוכר לאחר מותו כאלוף העולם לשנים 1963–1964 — מורשת שהולידה ב־1980 את אליפות אפריקה בדמקה והפכה את מערב אפריקה למעצמה עולמית בלוח ה־10×10.

איפה משחקים דמקה בינלאומית ואיך מתרגלים את חוקי ה־10×10?

אם מתחשק לכם להעמיד מבנה אולימפי במשבצות 40 ו־45 ולחפש תחבולות בעצמכם, תמצאו את המשחק המלא בעמוד הדמקה של Checkers Crown^[9]. האפליקציה והדפדפן תומכים בשמונה גרסאות דמקה: דמקה אנגלית (8×8), דמקה בינלאומית (10×10), דמקה ברזילאית (לוח 8×8 עם מלוא חוקי ה־10×10), דמקה רוסית, דמקה איטלקית, דמקה ספרדית, דמקה טורקית ופול צ׳קרס^[10].

חשוב להכיר את ההפרדה בין המצבים: כשבוחרים לשחק דמקה אונליין בדפדפן במשחק מדורג^[11], השיבוץ מתנהל בתור אחיד אחד לפי חוקי הדמקה האנגלית בקצב שעון 10+5 (10 דקות בתוספת 5 שניות למהלך), כדי שכל משחק יימצא מהר במאגר משותף אחד.

לעומת זאת, הדמקה הבינלאומית על לוח 10×10 (כולל אכילה אחורה, מלך מעופף, כלל הרוב הכמותי ואי־הכתרה במעבר באמצע אכילה) זמינה במלואה למשחק אופליין נגד המחשב או למשחק של שני שחקנים על מכשיר אחד. אפשר גם לתרגל את אותם חוקי טקטיקה בדיוק על לוח קצר יותר בדמקה הברזילאית (8×8), או לעבור באזור הלימוד באתר על מסלול בן ארבעה שיעורים אינטראקטיביים (באנגלית) לדמקה בינלאומית ולבנות על הלוח את המסלולים של מנוורי צעד אחר צעד.

מקורות

1. van den Herik, H. J., Uiterwijk, J. W. H. M., & van Rijswijck, J. (2002). “Games solved: Now and in the future.” Artificial Intelligence, 134(1–2), 277–311.
2. Wikipedia contributors. “International draughts.” Wikipedia, The Free Encyclopedia.
3. Boardgammon. “Checkers Rules: How to Play, Movement, and Captures.”
4. de Jongh, H. (1980). Le Coup Royal. Fédération Française du Jeu de Dames.
5. Robson, J. M. (1984). “N by N checkers is Exptime complete.” SIAM Journal on Computing, 13(2), 252–267.
6. Schaeffer, J., Burch, N., Björnsson, Y., Kishimoto, A., Müller, M., Lake, R., Lu, P., & Sutphen, S. (2007). “Checkers Is Solved.” Science, 317(5844), 1518–1522.
7. Wikipedia contributors. “Game complexity.” Wikipedia, The Free Encyclopedia.
8. Manoury, P. (1787). Le Jeu de dames à la polonoise, ou Traité historique de ce jeu, sa marche, ses règles, leur explication. Paris.
9. Boardgammon. “Checkers Crown: Play Online Checkers and Regional Draughts Variants.”
10. Boardgammon. “Checkers Variants: The Kinds of Draughts Played Around the World.”
11. Boardgammon. “Play Checkers Online: Free Browser and Mobile Draughts.”

מצאתם טעות או ניסוח צורם? כתבו לנו