מחבוסה ופלקוטו: המשחק שבו מרתקים אבנים במקום להכות

אחרי שניים או שלושה משחקים של שש־בש רגיל בחוף הים, במועדון במילואים או בשולחן הפינתי של בית הקפה, מישהו אוסף את כל 15 האבנים שלו לערימה גבוהה בפינה הרחוקה ואומר: ״עכשיו מחבוסה״. הלוח נשאר אותו לוח של 24 משולשים והקוביות אותן שתי קוביות, אבל בתוך חמישה תורות מתברר שכל הרגל שהבאתם מתוך חוקי השש־בש הרגיל פועל כאן בכיוון ההפוך.

ביוון ובקפריסין קוראים למשחק פלקוטו (Plakoto), מהפועל היווני שמשמעותו ״לכסות״ או ״להצמיד מלמעלה״, והוא המשחק האמצעי בסדרת הטאבלי לצד פורטס ופבגה^[1]. מכל המשחקים שבמדריך גרסאות השש־בש, פלקוטו ומחבוסה מראים בצורה החדה ביותר איך חוק אחד הופך את כל הגיאומטריה של הלוח: אבן שנוחתת על אבן חשופה של היריב אינה מכה אותה אל הבר (הפס שבאמצע הלוח), אלא מרתקת (כולאת) אותה תחתיה על אותה משבצת^[2]. האבן הלכודה משותקת עד שכל האבנים שמעליה יעזבו, ואף שחקן אינו יכול להוציא אבנים כל עוד אפילו אבן אחת שלו נשארת כלואה על הלוח.

השינוי הזה מעלה שוב ושוב את אותן שאלות ליד השולחן: כמה אבנים מותר להוציא מערימת הפתיחה בתור אחד? מה קורה כששני הצדדים מרתקים זה לזה את האבן האחרונה בפינה? וכמה הטלות מתוך 36 באמת לוכדות אבן אם חשופה מול חזית של בנאים? המספרים מראים משחק שבו השארת אבן חשופה בפתיחה כמעט אינה עולה דבר, ואילו נטישה נמהרת של משבצת המוצא נגמרת מייד בהפסד כפול של 2 נקודות.

איך מסדרים את הלוח ומהם חוקי הריתוק?

בפלקוטו משחקים על לוח של 24 משבצות המחולקות לארבעה רבעים של שש משבצות, עם 15 אבנים לכל שחקן (30 בסך הכול) ושתי קוביות רגילות של שש פאות היוצרות 36 תוצאות סדורות^[1]. במקום הפיזור של שש־בש רגיל (2 על 24, 5 על 13, 3 על 8 ו־5 על 6), כל 15 האבנים הלבנות מתחילות בערימה על משבצת 24 של הלבן ונעות ממשבצת 24 אל משבצת 1, וכל 15 השחורות מתחילות מנגד על משבצת 1 של הלבן (משבצת 24 של השחור) ונעות בכיוון הנגדי ממשבצת 1 אל משבצת 24. בחלק מהבתים בישראל נהוג במחבוסה להכניס את האבנים ללוח מבחוץ בתחילת המשחק, אבל בפלקוטו התקני, וכך גם במדריך פלקוטו ובאפליקציית Boardgammon, כל 15 האבנים עומדות מראש על משבצת 24.

הסידור הזה מאריך את המרוץ יותר מפי שניים. בשש־בש רגיל כל שחקן מתחיל במרחק 167 פיפים מהוצאת אבניו; בפלקוטו המרחק הוא 15 × 24 = 360 פיפים לכל צד, ו־720 פיפים לשני הצדדים יחד^[1]. אלו 193 פיפים נוספים לכל שחקן (360 − 167 = 193), כלומר מרוץ ארוך פי 2.16. בקצב ממוצע של 294 / 36 (כלומר 49 / 6 או 8.17 פיפים להטלה כשמשחקים דאבל בקוביות ארבע פעמים), מרוץ בלי חסימות נמשך בממוצע 44.08 הטלות (כ־44.1 תורות), לעומת 20.45 הטלות (כ־20.5 תורות) בשש־בש רגיל.

בפועל המרוץ נבלם מהר מאוד, משום שהריתוק נשען על ארבעה כללים^[1]:

1. בלי בר: לאורך כל המשחק יש אפס אבנים על הבר (0 אבנים בחוץ), ואף אבן אינה יורדת מהלוח לפני שלב ההוצאה.
2. ריתוק במקום הכאה: משבצת פתוחה אם היא ריקה, אם האבן העליונה בה שלכם, או אם עומדת בה אבן חשופה אחת של היריב שאינה מרותקת. נחיתה על אבן כזאת כולאת אותה בתחתית המשבצת.
3. אבן מרתקת אחת כבר סוגרת משבצת: ברגע שאבן אחת שלכם יושבת מעל אבן לכודה של היריב, המשבצת סגורה לחלוטין בפני היריב — כמו ״בית״ סגור בשפת השולחן. היריב אינו יכול לנחות שם או לרתק בחזרה, ואילו אתם יכולים לערום מעליה שתיים, שלוש אבנים או יותר. האבן התחתונה משתחררת רק אחרי שכל האבנים המרתקות שמעליה עוזבות.
4. נעילת ההוצאה: אסור להוציא אף אחת מ־15 האבנים כל עוד אפילו אבן אחת שלכם מרותקת בין משבצת 1 למשבצת 24 — גם אם היא כלואה בתוך הבית.

כדאי להבחין בין פלקוטו לשני משחקים קרובים שמתחילים גם הם מערימה של 15 אבנים^[2]. במשחק הרוסי נרד ארוך (שמוכר גם כשש־בש ארוך) מותר להוציא מערימת הראש במשבצת 24 רק אבן אחת בתור (למעט שתי אבנים בתור הראשון בדאבלים 6-6, 4-4 או 3-3), וגם בנרד ארוך וגם בפבגה (Fevga) אבן אחת כבר סוגרת משבצת ואסור לסגור פריים של שש משבצות רצופות מול כל 15 אבני היריב. בפלקוטו אין שום הגבלת ראש: מותר להזיז ממשבצת 24 אבן אחת, שתי אבנים או ארבע אבנים בדאבל בכל תור, ומותר לסגור פריים מלא של שש משבצות בכל שלב.

מהי אבן האם, ואיך מוכרע משחק בניצחון כפול באמצע הלוח?

האבן האחרונה שנשארת על משבצת הפתיחה 24 נקראת אבן האם, וביוונית מאנה (Mana)^[1]. שתי המשבצות שלפניה נושאות שמות מסורתיים משלהן: משבצת 23 (משבצת 2 בבית היריב, פיפ אחד קדימה) היא פראמאנה (Paramana), ומשבצת 22 (משבצת 3 בבית היריב, שני פיפים קדימה) היא פרופראמאנה (Proparamana).

ברגע שנשארתם עם אבן אם בודדת על משבצת 24, כל המשחק מתנקז לאיום אחד: אם היריב נוחת על אבן האם הבודדת שלכם ומרתק אותה בזמן שאבן האם שלו חופשייה, המשחק מסתיים מייד בניצחון כפול של 2 נקודות (מקביל למארס, וביוונית ״דיפלו״)^[1]. אם המשחק מגיע לשלב ההוצאה, מי שמוציא ראשון את כל 15 האבנים זוכה בנקודה אחת אם היריב הוציא לפחות אבן אחת, או ב־2 נקודות (מארס) אם היריב לא הוציא אף אבן (0 אבנים). בטאבלי המסורתי משחקים בלי קוביית הכפלה, ואין ניצחון משולש של 3 נקודות (מארס טורקי).

ומה אם שחקן מרתק את אבן האם של יריבו בזמן שאבן האם שלו עצמו עדיין בודדת על 24, ובהמשך היריב מרתק גם אותה? בבתי הקפה ביוון ובשולחנות מחבוסה מסורתיים רבים מכריזים על תיקו (0 נקודות) ומתחילים משחק חוזר, משום ששתי אבני האם נעולות לצמיתות. במשחק הדיגיטלי ב־Boardgammon אף צד אינו זוכה בניצחון מיידי כששתי אבני האם מרותקות, והמשחק נמשך עם האבנים הפנויות עד תום המהלכים החוקיים^[1].

התרשים למעלה מדגים תזמון מדויק סביב שתי אבני האם. ללבן אבן אם אחת על 24, אבן מרותקת מתחת לשחור על 22, 2 אבנים על 21, 3 על 13, 3 על 6, 3 על 5 ו־2 על 4 (15 אבנים); לשחור אבן מרתקת על 22, 3 על 20, 3 על 19, 3 על 15, 2 על 9, 2 על 3 ואבן אם חשופה על 1 (15 אבנים). עם ההטלה 5-3 הלבן משחק 6/1 עם ה־5 כדי לרתק את אבן האם השחורה במשבצת 1, ו־24/21 עם ה־3 כדי לחלץ את אבן האם שלו אל משבצת 21 הסגורה^[1]. משבצת 24 מתרוקנת לחלוטין (0 אבנים), והלבן זוכה מייד ב־2 נקודות אף שעל משבצת 22 עדיין כלואה אבן לבנה.

איך משחקים נכון את הפתיחה, וכמה הטלות מתוך 36 לוכדות אבן אם?

שחקנים שמגיעים משש־בש רגיל נרתעים מהשארת אבנים חשופות. בשש־בש רגיל הכאה מוחקת עשרות פיפים מהמרוץ, כפי שמפרטת הכתבה מתי להכות אבן ומתי לבנות משבצת בשש־בש. בפלקוטו, לעומת זאת, החשבון של התור הראשון מחייב להשאיר אבנים חשופות — ומראה למה בחצי המרוחק של הלוח זה כמעט חסר סיכון^[3].

מאחר שכל 15 האבנים עומדות על משבצת 24, רק ששת הדאבלים מתוך 36 תוצאות (1-1 עד 6-6, שהם 16.67% או 1 מ־6) מזיזים ארבע אבנים בזוגות ולא משאירים אף אבן חשופה (0 אבנים חשופות)^[3]. כל 30 ההטלות שאינן דאבל (83.33%, 5 מ־6 — 15 צירופים בשני סדרים אפשריים) משאירות בהכרח אבן חשופה אחת (ריצה עד 11 פיפים ב־6-5) או שתי אבנים חשופות. מול אבן שעומדת במרחק 13 או 19 פיפים מערימת הפתיחה של היריב יש ליריב 0 מתוך 36 הטלות ריתוק בתור אחד (0%) מאותה ערימה, וגם ריתוק מוקדם ברבע הפתיחה שלכם מחייב את היריב לשחרר לבסוף את האבן כדי להתקדם הביתה. הסכנה האמיתית נמצאת בקצה השני של הלוח, כשאבן שלכם נלכדת בבית היריב או כשאבן האם שלכם נשארת לבד.

בעמדת אמצע המשחק למעלה, שמדגימה איך עובדת אסטרטגיה בשש־בש במשחק ריתוק, ללבן יש 2 אבנים על 24, 2 על 22, 4 על 18, 3 על 10, 2 על 8 ו־2 על 6 (15 אבנים), ולשחור אבן אם בודדת על 1, 2 על 3, אבן חשופה על 12, 3 על 14, 3 על 17, 3 על 19 ו־2 על 20 (15 אבנים)^[1]. הלבן מטיל 6-4. במקום לשחק 10/4 ולהפקיר אבן חשופה במרחק 3 פיפים מאבן האם השחורה, הלבן משחק 18/12 ב־6 ו־10/6 ב־4: המהלך 18/12 מרתק את האבן השחורה על 12 וסוגר את המשבצת באבן אחת בלבד (כש־3 אבנים נשארות על 18), ו־10/6 מוסיף בנאי שלישי למשבצת 6 במרחק 5 פיפים מאבן האם השחורה, בלי להשאיר אף אבן לבנה חשופה (0 אבנים חשופות) ועם איום מיידי של 15 מתוך 36 (41.67%) בתור הבא.

כך מזנק מספר ההטלות המרתקות מתוך 36 מול אבן אם חשופה במשבצת 1 כשמשבצות הביניים פתוחות^[3]:

• בנאי אחד במרחק 7 פיפים (משבצת 8): 6 מתוך 36 (16.67%: 6-1, 1-6, 5-2, 2-5, 4-3, 3-4).
• בנאי אחד במרחק פיפ אחד (משבצת 2): 11 מתוך 36 (30.56%).
• בנאי אחד במרחק 5 פיפים (משבצת 6): 15 מתוך 36 (41.67%: 11 חמישיות ישירות ועוד 4-1, 1-4, 3-2, 2-3).
• בנאי אחד במרחק 6 פיפים (משבצת 7): 17 מתוך 36 (47.22%: 11 שישיות ישירות ועוד 5-1, 1-5, 4-2, 2-4, 3-3, 2-2).
• שני בנאים במרחק 5 ו־3 פיפים (משבצות 6 ו־4): 25 מתוך 36 (69.44%).
• שני בנאים במרחק 6 ו־5 פיפים (משבצות 7 ו־6): 28 מתוך 36 (77.78%).
• שלושה בנאים במרחק 6, 5 ו־4 פיפים (משבצות 7, 6 ו־5): 34 מתוך 36 (94.44% — רק 1-2 ו־2-1, שהן 2 מתוך 36 או 5.56%, מחטיאות).
• ארבעה בנאים במרחק 6, 5, 4 ו־3 פיפים (משבצות 7, 6, 5 ו־4): 36 מתוך 36 (100%).

גם שחקני מחבוסה ותיקים נוטים להניח שסגירת הפראמאנה (משבצת 2) והפרופראמאנה (משבצת 3) מגינה על אבן אם בודדת. בפועל, מול שלושה בנאים במשבצות 7, 6 ו־5, כל הטלה עם 4, 5 או 6 פוגעת ישירות ב־1 בלי לדרוך על 2 או 3 (27 הטלות), ומתוך תשע ההטלות הנותרות עוד חמש עוברות דרך משבצת 4 הפתוחה: 3-3 מ־7, 2-3 ו־3-2 מ־6, ו־1-3 ו־3-1 מ־5^[3]. התוצאה היא 32 מתוך 36 הטלות (88.89%) שמרתקות את אבן האם גם מאחורי שתי משבצות חסומות.

למה הרגלים משש־בש רגיל מכשילים גם שחקנים חזקים?

שתי הטעויות הקלאסיות בפלקוטו — היסוס בפתיחה והיאחזות מוגזמת בריתוק ישן — מדגימות הטיות מוכרות ממדעי הקוגניציה ומהכלכלה ההתנהגותית.

הראשונה היא אפקט איינשטלונג (Einstellung), שבו שגרה אוטומטית מסתירה פתרון עדיף. במחקר מ־2008 בכתב העת Cognition בחנו מרים בילאליץ׳ (Merim Bilalić), פיטר מקלאוד (Peter McLeod) ופרננד גובה (Fernand Gobet) 16 אמני שחמט בשני ניסויים (8 בכל ניסוי, דירוג Elo ממוצע 2,262 וסטיית תקן 165, יותר משתי סטיות תקן מעל ממוצע 1,500 של שחקני מועדון; ועוד 24 שחקנים בשלוש רמות מ־2,126 עד 2,520 Elo בניסוי שלישי)^[4]. כשתבנית מוכרת של מט חנק בחמישה מהלכים הופיעה לצד מט בשלושה מהלכים, ביצועי האמנים צנחו בכ־3 סטיות תקן (כ־300 נקודות Elo), ויותר מ־50% מקיבועי המבט נשארו נעולים על משבצות התבנית המוכרת — אף שבקבוצת הביקורת בלי התבנית המוכרת 8 מתוך 8 אמנים (100%) מצאו מייד את המט בשלושה מהלכים. הניסוי בדק בעיות שחמט במעבדה ולא עסק בפלקוטו או באימון קוגניטיבי קליני, אבל הוא ממחיש איך הרגלים אוטומטיים משש־בש רגיל מושכים את העין למהלכים שגויים במשחק ריתוק.

המלכודת השנייה היא הסירוב לשחרר ריתוק שכבר איבד מערכו, תוצר מוכר של הטיית הסטטוס־קוו ואפקט הבעלות. ב־1988 ניתחו ויליאם סמואלסון (William Samuelson) וריצ׳רד זקהאוזר (Richard Zeckhauser) בכתב העת Journal of Risk and Uncertainty שאלונים של 486 סטודנטים לכלכלה ולמנהל עסקים ב־66 התפלגויות בחירה, לצד 9,185 עובדי אוניברסיטת הרווארד בשמונה תוכניות בריאות בשנים 1980–1986 (כ־3% בלבד החליפו תוכנית בשנה, ועובדים ותיקים שמרו על תוכניות קיימות פי שניים עד פי ארבעה מעובדים חדשים) ו־850,000 חוסכי פנסיה ב־TIAA-CREF, ש־72% מהם לא שינו את חלוקת ההשקעות אפילו פעם אחת לאורך הקריירה (0 שינויים) ורק 28% ביצעו שינוי כלשהו^[5]. ב־1991 הראו דניאל כהנמן, ג׳ק נטש (Jack Knetsch) וריצ׳רד תאלר (Richard Thaler) בכתב העת Journal of Economic Perspectives שבשוק של 44 סטודנטים באוניברסיטת קורנל עם 22 ספלי קפה בשווי 6.00 דולר נסגרו בארבעה סבבי מסחר רק 4, 1, 2 ו־2 עסקאות במקום 11 העסקאות החזויות (50%), כי המוכרים דרשו חציון של 5.25 דולר לעומת 2.25 עד 2.75 דולר אצל הקונים (יחס של כ־2:1); ובאוניברסיטת סיימון פרייזר (77 סטודנטים) הוערך הספל ב־7.12 דולר אצל מוכרים, 3.12 דולר אצל בוחרים ו־2.87 דולר אצל קונים^[6]. שני המחקרים בחנו החלטות כלכליות ומוצרי צריכה ולא משחקי לוח; באנלוגיה התנהגותית הם מסבירים למה שחרור ריתוק קיים נחווה כוויתור יקר פי שניים מבניית משבצת חלופית.

הדרישה לגמישות בין מצור למרוץ עולה לא פעם גם בשיח על הזדקנות ומשחקי לוח. במחקר עוקבה תצפיתי שפורסם ב־2003 בכתב העת New England Journal of Medicine עקבו ג׳ו ורגזה (Joe Verghese) ועמיתיו אחר 469 מבוגרים מעל גיל 75 בלי דמנציה במשך חציון של 5.1 שנים (ועד 21 שנים, עם 124 מקרי דמנציה חדשים)^[7]. בקרב מי ששיחקו בתדירות גבוהה במשחקי לוח (דמקה, שחמט או שש־בש) או בקלפים נצפה יחס סיכונים מותאם של 0.26 (שיעור נצפה נמוך ב־74% לעומת מי ששיחקו לעיתים רחוקות, ו־0.93 או פער נצפה של 7% לכל נקודה בסולם הפעילות הקוגניטיבית). זהו מחקר תצפיתי בלבד ולא ניסוי מבוקר: אין בו שום הוכחה שמשחקי לוח מונעים דמנציה, מאטים ירידה קוגניטיבית או מעלים את ה־IQ הכללי, משום שאי אפשר לשלול גורמים מתערבים או סיבתיות הפוכה שבה שינויים מוקדמים מרחיקים אנשים מהלוח שנים לפני האבחנה.

איך התגלגל המשחק מטאבולה ביזנטית לטאבלי ולמחבוסה?

לוח המחבוסה והפלקוטו ממשיך שושלת ים־תיכונית עתיקה^[8]. כפי שמתואר בכתבה טאבלה, טאבלי, נארדי ושש־בש: איך לוח אחד הוליד עולמות משחק שונים, כבר בשנת 480 לספירה תועד משחק הטאבולה (tabula) הביזנטי על לוח של 24 משבצות (עם שלוש קוביות), ובמאה השישית עוצב הנרד (Nard) הפרסי עם שתי קוביות וסמליות של 12 משבצות בחצי לוח, 24 שעות ו־30 ימים^[8]. סביב הים התיכון והבלקן צמחה משם משפחה ענפה שמופיעה במדור תרבות השש־בש^[9]:

• יוון וקפריסין (פלקוטו בטאבלי): המשחק השני בסבב פורטס, פלקוטו ופבגה במאטש עד 3, 5 או 7 נקודות, בלי קוביית ההכפלה שנכנסה למועדוני ניו יורק רק סביב 1926 (בשנות ה־20 של המאה ה־20)^[10].
• ישראל והלבנט (מחבוסה): מערבית לבנטינית (אל־מחבוסה, ״הכלואה״), ולצידה בבתי הקפה של האזור משחק המרוץ ל־31 נקודות טאולה 31^[8].
• טורקיה, איראן והבלקן: בטורקיה האפיס טאבלה (Hapis tavla), באיראן מחבוסה (Mahbouseh), ובבולגריה ובמקדוניה הצפונית טאפה (Tapa), שמשחקים בסבב משולש לצד טאבלה (Tabla) וגולבארה (Gulbara)^[8].

הטבלה מרכזת את ההבדלים בין ארבע הגרסאות^[2]:

איך בונים תוכנית משחק מנצחת ואיפה מתרגלים פלקוטו?

ארבעה כללים מעשיים מתרגמים את ההסתברויות ליתרון מיידי ליד הלוח^[3]:

1. פתחו באומץ למרכז הלוח: ב־83.33% מהפתיחות (30 מ־36) תיאלצו להשאיר אבן חשופה אחת או שתי אבנים חשופות; קדמו בנאים למרכז הלוח במקום להצטופף ליד משבצת 24.
2. ספרו בנאים לפני שאתם משאירים את אבן האם לבד: אל תשאירו אבן אם בודדת מול שני בנאים במשבצות 7 ו־6 (28 מ־36, 77.78%) או מול שלושה בנאים ב־7, 6 ו־5 (34 מ־36 בלוח פתוח, ו־32 מ־36 גם כשמשבצות 2 ו־3 שלכם סגורות). חלצו את שתי האבנים האחרונות יחד בדאבל או כשחזית היריב ריקה.
3. רתקו קרוב לבית ושחררו בזמן: ריתוק בתוך הבית שלכם נועל ליריב את ההוצאה בלי לעכב אתכם, ואילו ריתוק רחוק שכבר עשה את שלו כדאי לשחרר ביוזמתכם לפני שהבית שלכם מתפרק.
4. נצלו את הסגירה באבן אחת: אבן מרתקת אחת כבר סוגרת את המשבצת; הוסיפו מעליה אבן שנייה רק כשאתם צריכים בנאי להמשך הפריים.

ב־Boardgammon המשחקים בזמן אמת בדפדפן בעמוד שש־בש אונליין מתמקדים בשש־בש רגיל כדי לרכז את כל השחקנים בלוח משותף אחד ולקצר את ההמתנה ליריב^[11]. כדי לשחק פלקוטו מלא נגד המחשב או בשני שחקנים על אותו מכשיר, הורידו את האפליקציה של Boardgammon הזמינה ב־11 שפות ממשק ובהן עברית, ותרגלו מראש את ארבעת השיעורים האינטראקטיביים הייעודיים לפלקוטו בעמוד שיעורי שש־בש, לצד ההסברים בעמוד מילון מונחי השש־בש.

מקורות

1. Boardgammon. “Plakoto: Greek Pinning Backgammon Rules and Strategy.”
2. Boardgammon. “Backgammon Variants: Games in the Tables Family.”
3. Boardgammon. “Backgammon Strategy Guide.”
4. Bilalić, M., McLeod, P., & Gobet, F. (2008). “Inflexibility of experts—Reality or myth? Quantifying the Einstellung effect in chess masters.” Cognition, 108(3), 652–661.
5. Samuelson, W., & Zeckhauser, R. (1988). “Status Quo Bias in Decision Making.” Journal of Risk and Uncertainty, 1(1), 7–59.
6. Kahneman, D., Knetsch, J. L., & Thaler, R. H. (1991). “Anomalies: The Endowment Effect, Loss Aversion, and Status Quo Bias.” Journal of Economic Perspectives, 5(1), 193–206.
7. Verghese, J., Lipton, R. B., Katz, M. J., Hall, C. B., Derby, C. A., Kuslansky, G., Ambrose, A. F., Sliwinski, M., & Buschke, H. (2003). “Leisure Activities and the Risk of Dementia in the Elderly.” New England Journal of Medicine, 348(25), 2508–2516.
8. Murray, H. J. R. (1952). A History of Board-Games Other than Chess. Oxford: Clarendon Press.
9. Boardgammon. “Backgammon Culture Around the World.”
10. Jacoby, O., & Crawford, J. R. (1970). The Backgammon Book. New York: Viking Press.
11. Boardgammon. “Interactive Backgammon Lessons.”

מצאתם טעות או ניסוח צורם? כתבו לנו